Espace préhilbertien & Matrice

[invite78ca2c0e]

Bonjours à tous,

j'ai besoin d'aide pour un exercice, j'espère que vous allez pouvoir m'aider en tout cas merci d'avance.

énoncé: soit E l'espace vectoriel des fonctions continues de [0,1] dans R et (f₁,...,f_n) dans Eⁿ
Monter que si (f₁,...,f_n) est libre alors pour toute matrice M il existe (g₁,...,g_n) dans Eⁿ vérifiant quelque soit i,j m_i,j=intégrale de 0 à 1 de f_i(t)g_i(t)dt


Mes recherches: (f_i|h_i)=intégrale de 0 à 1 de f_ih_idt est un produit scalaire sur Eⁿ mais après il faut que je prouve l'existence de g_i puis de (g₁,...,g_n) en utilisant le fait que (f₁,...,f_n) est libre est là je bloque...
pour trouver g_i suffit-il de dire que
-----

[invite78ca2c0e]

personne n'a d'idée?

[invited7441b93]

Soit F=vect(f1...fn) et T:F^n dans Mn(R) qui à (g1....gn) associe la matrice (mij) c est une application lineaire injective d'ev de meme dimension finie donc surjective: cest la question.

[invite78ca2c0e]

merci beaucoup pafnouti je crois avoir compris je tente une rédaction:

Notons F=vect(f₁,...,f_n) et T:[Fⁿ dans M_n(R) qui à (g₁....g_n) associe la matrice (m_ij)] c'est une application linéaire injective (car (f₁,...f_n) libre donc Ker(T) réduit à l'espace nul) d'un espace vectoriel de même dimension fini donc surjective.

(f_i|g_i) -> intégrale de 0 à 1 de f_i(t)g_i(t)dt est un produit scalaire de Eⁿ et l'application T est une forme linéaire donc il existe (g₁,....g_n) tel que cette forme linéaire corresponde au produit scalaire avec (g₁,...,g_n).


l'on viens de montrer l'existence de (g1,...gn). Mais après je dois en étudier la réciproque càd s'il existe (G1,..gn), quelque soit i,j mi,j=intégrale de 0 à 1 de fi(t)gi(t)dt alors (f1,...fn) est libre. J'ai essayée d'utiliser la définition du produit scalaire mais ça n'aboutit pas quelqu'un aurait-il une autre idée??

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited7441b93]

On prend la meme apllication lineaire par hypothese cette fois ci elle est surjective donc la dimension de l espace de depart est superieure a la dimension de l espace d arrivee:F contient bien n vecteur lineairement independant.(pas beoin de produit scalaire pour tout l exercice)

[invite78ca2c0e]

je ne comprend pas pourquoi elle serait surjective???

[invited7441b93]

tu as dis:"Mais après je dois en étudier la réciproque càd s'il existe (G1,..gn), quelque soit i,j mi,j=intégrale de 0 à 1 de fi(t)gi(t)dt " c est exactement la surjectivité.

[invite78ca2c0e]

Ok j'ai enfin compris. merci beaucoup pour ton aide!!!