Equivalence un peu dure à trouver

[Manaphy]

Bonjour !

J'ai une partie de mon problème qui me dérange :

J'ai la fonction g(x) = (x²+1)*ln(x+1/x) + (x²+x-1)/(x+1). Je dois en trouver l'équivalent en 0.

Autant pour les deux polynômes je n'ai aucun problème, puisque x²+1 ~ 1 et (x²+x-1)/(x+1) ~ -1 (termes de plus bas degré), mais ln(x+1/x) me pose problème. J'ai beau eu essayer de faciliter le problème de toutes les manières, en ramenant à ln(1+u) quand u -> 0, en faisant ln(x+1/x) = -ln(x/(x+1)), mais rien à faire ! Je suis tellement désespéré que j'ai même mis que c'était équivalent à 1/x en 0 en sachant que c'est faux xD

Quelqu'un a une piste ?
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[legyptien]

ln(x+1/x)

J'ai beau eu essayer de faciliter le problème de toutes les manières, en ramenant à ln(1+u) quand u -> 0, en faisant ln(x+1/x) = -ln(x/(x+1)),

ces 2 expressions sont fausses. D ou tu sors ca ? la limite de de 1/x qd x tend vers 0 ? Pour la seconde expression il y a un x^2 non ?

[Manaphy]

Excuse-moi, j'ai du mal écrire. j'ai ln( (x+1)/x ), pas ln(x + 1/x). désolé ^^

Et oui j'ai sorti ça de la limite de 1/x quand x -> 0. Je sais bien que c'est faux car en se ramenant à la déf de ~, on a :



C'est pour ça que je dis que je suis désespéré.

et pour la fonction, je la remets en latex pour qu'elle soit claire (j'ai découvert ça entretemps)

[legyptien]

ok la c est clair. je vais t aider mais je vais pas te donner la reponse. tu as une somme de 2 fonctions dans ton ln. 1 et 1/x. d apres toi qui va predominer quand x tendra vers 0 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Manaphy]

La fonction qui prédomine, c'est 1/x et ça tend vers +infini. Le problème c'est qu'il me faut un équivalent, autrement dit une fonction. Mais j'arrive pas à virer le ln et je ne peux pas dire +infini, surtout qu'après on me demande de calculer la limite de g quand x tend vers 0 (et là je pourrai mettre +infini)

EDIT : je crois avoir trouvé, mais je ne peux pas mettre que g(x) ~ -ln(x) - 1 en 0, si ? o_o

[legyptien]

La fonction qui prédomine, c'est 1/x et ça tend vers +infini. Le problème c'est qu'il me faut un équivalent, autrement dit une fonction. Mais j'arrive pas à virer le ln et je ne peux pas dire +infini, surtout qu'après on me demande de calculer la limite de g quand x tend vers 0 (et là je pourrai mettre +infini)

EDIT : je crois avoir trouvé, mais je ne peux pas mettre que g(x) ~ -ln(x) - 1 en 0, si ? o_o

il faut que tu comprenne la notion de negligeable. Quelque chose est negligeable face a quelque chose d autre. tu l as dit toi meme ta fonction 1/x domine 1 en 0. donc ta somme 1+1/x est equivalente a une fonction. Laquelle d apres toi ? le 1 n a aucun poids en 0.

je viens de lire ton EDIT, oui tu peux mettre ca

[gg0]

Pourquoi pas ?
Et même, rien n'empêche de négliger le -1.
Un calcul de la limite de g(x)/ln(x) en 0 devrait te permettre d'être sûr(e).

Cordialement.

[Manaphy]

Ok d'accord, merci beaucoup.

Je sors d'une phase hyper intensive de DL alors je pensais inconsciemment qu'on pouvait mettre que des polynômes lorsqu'on cherchait un équivalent. x)

[legyptien]

je suis pas un specialiste mais je dirais que quand tu mets un ln, c est comme si tu mettais des polynomes. Le DL de ln est un polynomes ?

[gg0]

Non, non, Legyptien,

surtout ne pas mélanger. D'ailleurs, en 0, les polynômes ont des limites finies, alors que ln a une limite infinie. Et pas de DL. Et dans de nombreux cas un équivalent est très utile, quel qu'il soit.

Cordialement.

[Manaphy]

Eh bien oui et non, ça dépend du point où on fait le DL.

Par exemple on a un DL de ln(1+x) en 0, et un DL de ln(x) en 1, mais pas de DL de ln(x) en 0.