Volume d'un tétraèdre.

[invite97d79020]

Bonjour. Je vous soumet une petite question de géométrie élémentaire que je n'arrive pas à trancher (une remise à niveau du programme de terminale ne me ferait pas mal dis donc ).

Soit (A,B,C,D) un quadruplet de nombres réels tels qu'il existe un tétraèdre aux sommets deux à deux distincts et ayant ses faces d'aire A,B,C,D.

Existe-t-il alors un autre tétraèdre (de sommets deux à deux distincts) ayant lui aussi ses faces d'aire A,B,C,D et ayant un volume différent de celui du premier?

Si oui, la question s'arrête là.
Si non, quelle est la formule donnant le volume d'un tétraèdre (de sommets deux à deux disjoints) en fonction de l'aire de ses faces?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[invite51d17075]

la formule du volume est très connue.
V=(1/3)BH
B base du tétraèdre ( surface d'un des faces posée )
H hauteur.
quand à ta première question , je n'ai pas trop creusé .

[invite97d79020]

Oui je connais la formule. Ma question est de savoir si le volume s'écrit ou pas à partir des seules aires des faces.

[invite51d17075]

non, je ne pense pas.
pense à une épée très allongée en forme de tétraèdre.
mais je veux bien faire une simu quand j'aurai le temps.
cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[skeptikos]

http://mathafou.free.fr/themes/cayley.html
Bonsoir,
Ce site internet et en particulier ses dernières lignes devraient t'apporter des éléments de réponse.
@+

[invite51d17075]

bien vu skeptikos.
j'ai bien fait de m'éviter tous ces calculs assez lourds.
cordialement.

[invite97d79020]

Je ne suis pas sûr d'avoir compris la manière dont cela correspondait à ma question.
Je vois bien qu'il fait des échanges relativement symétriques et obtient des tétraèdres de volume différent, mais par exemple dans le cas ou il échange la longueur a avec la longueur x, il obtient bien un autre tétraèdre, mais en faisant ça, rien ne garantit que les quadruplet d'aire des faces sera le même non?

[invite93e0873f]

Il existe pour les tétrahèdres une formule similaire à celle de Héron : http://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahe..._a_tetrahedron

Édition : c'est un pas dans la bonne direction, mais ça n'implique pas directement que le volume est déterminé par les aires, j'en conviens.

[invite51d17075]

on peut le faire en choisissant un type de tétraèdre.
par exemple un tétraèdre pseudo "droit" avec un triangle équilatère de base et une hauteur H
on s'arrange pour que a' ( coté du triangle de base ) et H correspondent au même volume que le tétraèdre régulier de base.
et on en déduit la surface de chaque coté.