Extension des dimesnsions de Hausdorff

[invite72099687]

Bonjour à tous ! Je travaille depuis maintenant plusieurs mois sur l'éventualité d'une extension des dimensions de Hausdorff. Je m'explique: les dimensions classiques comme vous le savez ne suffisaient plus pour décrire le monde des fractales, ainsi ont été introduites entre autres les dimensions de Hausdorff. J'ai étudié ces dimensions, et ensuite dans le cadre d'autres travaux j'ai ressenti le besoin d'étendre encore plus le concept ( pardonnez moi le gros mot) de dimension. Pour faire court: je voudrais savoir si c'était possible d'associer un nombre ( une dimension ) à chaque objets géométrique comme un carré, un rectangle, un cercle,...etc. Pour le cas du cercle et du carré par exemple, qu'il s'agisse de la dimension topologique ou de la dimension de Hausdorff on a pour les deux figure géométrique le chiffre 2. Je voudrais savoir si les maths modernes explorent l'éventualité d'une plus grande spécialisation tel qu'un carré ait une dimension différente d'un rectangle...d'un cercle,....etc. Encore mieux , que pour une même aire donné A on ait pour chaque rectangle correspondant une "dimension" associée basée sur la façon avec laquelle ce rectangle "s'étend"dans le plan. Merci d'avance, votre aide est très précieuse !
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[Seirios]

Bonjour,

La notion de "dimension" que tu sembles avoir en tête ressemble plutôt à la notion de volume, non ?

[invite72099687]

Non puisque je peux très bien généraliser ma question aux tesseract et autres êtres mathématiques de dimension n

[Seirios]

C'est la même chose pour le volume, on peut le définir en toute dimension.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite72099687]

par contre, le problème c'est que pour un flocon de von koch par exemple il possède en tant qu'objet fracatl théoriquement un volume in fini puisqu'il ne cesse de croitre, mais sa dimension elle est bien fini puisqu'elle vaut un chiffre situé entre 1 et 2

[invite72099687]

Désolé pour l'orthographe j'ai été un peu vite

[Seirios]

Le flocon de von Koch est effectivement une courbe de longueur infinie. Maintenant, il est difficile de répondre à ta question, qui est assez vague : que veux-tu faire exactement ? Une première étape pourrait être de t'imposer un certains nombres de contraintes, exprimées de manière précise, et de te demander si un tel objet existe.

[invite72099687]

En réalité ma réflexion part d'un principe tout simple: je voudrais étudier mathématiquement les divers transformations que subissent les figures mathématiques quand elles s'éloigne indéfiniment. Pour prendre un exemple simple, le carré semble tendre vers un point en s'éloignant, alors qu'un rectangle très maigre ( par exemple de rapport k= Longueur/largeur= 156) lui semble tendre vers un segment de droite en s'éloignant. Pourquoi ? Et y'a-t-il un moyen d'aborder la question avec des travaux existants ? Je suppose que oui mais j'ai rien trouvé

[Universus]

En réalité ma réflexion part d'un principe tout simple: je voudrais étudier mathématiquement les divers transformations que subissent les figures mathématiques quand elles s'éloigne indéfiniment. Pour prendre un exemple simple, le carré semble tendre vers un point en s'éloignant, alors qu'un rectangle très maigre ( par exemple de rapport k= Longueur/largeur= 156) lui semble tendre vers un segment de droite en s'éloignant. Pourquoi ? Et y'a-t-il un moyen d'aborder la question avec des travaux existants ? Je suppose que oui mais j'ai rien trouvé

Cette notion d' « éloignement » est étrange : pour le carré, elle semble correspondre à une contraction centrée en un point du carré, alors que pour le rectangle elle semble plutôt correspondre à une contraction « dans une seule direction » centrée en un point du rectangle...

[invite72099687]

Oui exactement, et il faut donc chercher de quelles cotés des mathématiques Universus ? les limites que tu as écris: viennent elles des matrices ?

[Universus]

Mon point est que la notion d'éloignement suggérée semblant dépendre de l'objet considéré, ça n'a pas vraiment d'intérêt pour des fins comparatives...

Nous pouvons définir toutes sortes de notions pour divers « besoins », alors il n'y a pas de réponse définitive à votre question.

[minushabens]

Peut-être que la théorie qu'EvGalois a en tête c'est ce qu'on a appelé "morphologie mathématique"? Il faut chercher les travaux du groupe de l'ecole des Mines, autour de Matheron et Serra.

[Seirios]

Je rejoins l'avis d'Universus, ici tu ne t'éloignes pas vraiment de la figure, puisque tu prévilégies une direction par rapport à une autre.

En théorie (géométrique) des groupes, on se pose une question similaire : à quoi ressemble une figure vue de l'infini ? Un mot clef est cône asymptotique. Formellement, on considère un espace métrique , et une suite de points . Ensuite, on définit le cône asymptotique comme l'ultralimite de lorsque . Ici, l'observateur qui s'éloigne à l'infini se déplace sur X en même temps qu'il s'éloigne, donc peut-être qu'on peut s'intéresser qu'au cas où est une suite constante; auquel cas le cône ne dépendra pas du point base choisi.

Par exemple, si tu considères (une bande infinie), alors tu auras comme cône asymptotique (une ligne). Par contre, dès que X sera borné, son cône asymptotique sera toujours un point, donc l'exemple que tu cites ne fonctionnerait pas ici, justement parce que tu privilégies une direction.

[invite72099687]

Merci pour ces pistes. Mais je pense que je n'ai pas été assez claire. Mon objectif est d'étudier les divers transformations que subissent les carrés, cercles, rectangle,....etc quand on s'en éloigne. J'ai alors trouvé certains "résultats" qui concernent la possibilité de formuler un équivalent mathématique de la ressemblance. Je m'explique: soit un rectangle et un carré donné de même aire , lequel de ces deux objets ressemble le plus à un point? J'ai l'intuition que "ressembler à" revient à étudier la vitesse de convergence de l'objet en question par éloignement . Ainsi le carré ressemble le plus à un point car il converge plus vite par éloignement vers un point que le rectangle , qui lui converge dans tout les cas d'abord vers un segment de droite, puis vers un point ( ce qui prend plus de temps). Ceci parait farfelu mais quand on y pense , pas tant que ça : soit trois frères Alain, Jerome et Fred ( qui se ressemblent plus ou moins) , lequel de Jerome et de Fred ressemble le plus à Alain ? Mathématiquement on pourrait s'éloigner des deux frères et celui pour lequel son visage "tend le plus vite " vers celui d'Alain est celui qui lui ressemble le plus.

[invite72099687]

Bien sur le visage d'Alain tend aussi en même temps afin de conserver la même taille. Qu'est-ce que vous en pensez ?

[Seirios]

Je ne suis pas sûr que des exemples, celui du rectangle et celui des trois frères, tendent vers la même formalisation de ton idée. Pour ce qui est des frères, il semblerait que l'on cherche à comparer les traits du visage à une erreur près. Peut-être peux-tu regarder du côté de la distance de Hausdorff ? Par contre, cela ne donne rien pour ton exemple du rectangle.

Cela dit, tu peux rechercher des renseignements sur les logiciels de reconnaissance faciale.

[invite72099687]

Oui tout à fait, non en réalité l'exemple des trois frères est juste une analogie pour tenter de faire comprendre mes idées. Mon objectifs est d'associer un nombre ( dimension de Hausdorff ou autres ) à chaque objets ( le carré et le rectangle en sont que des exemples ) afin de comparer ces chiffres et étudier les ressemblances. Par contre je me pose la question de savoir comment y intégrer dans tout ça des notions de convergences, car quand on y pense, il s'agit en réalité d'étudier la convergence vers 0 de l'aire situé dans le carré et de l'aire situé dans le rectangle. Il s'agirai alors de démontrer que pour le rectangle l'aire tend plus vite vers 0 que pour le carré, qu'en pensez-vous ?

[invite72099687]

J'aimerai avoir des précisions quant à la possibilité d'introduire les séries convergentes vers 0, et en savoir plus sur tes travaux, je suis intrigué par la phrase "à quoi ressemble une figure vue de l'infini"

[Seirios]

Oui tout à fait, non en réalité l'exemple des trois frères est juste une analogie pour tenter de faire comprendre mes idées. Mon objectifs est d'associer un nombre ( dimension de Hausdorff ou autres ) à chaque objets ( le carré et le rectangle en sont que des exemples ) afin de comparer ces chiffres et étudier les ressemblances. Par contre je me pose la question de savoir comment y intégrer dans tout ça des notions de convergences, car quand on y pense, il s'agit en réalité d'étudier la convergence vers 0 de l'aire situé dans le carré et de l'aire situé dans le rectangle. Il s'agirai alors de démontrer que pour le rectangle l'aire tend plus vite vers 0 que pour le carré, qu'en pensez-vous ?

Déjà, tu parles du carré et non d'un carré, donc techniquement, tu es en train de regarder les figures à isométrie et homothétie près : mais alors l'aire n'est pas bien définie, il faudrait faire une distinction entre l'infinité des carrés possibles.

J'aimerai avoir des précisions quant à la possibilité d'introduire les séries convergentes vers 0, et en savoir plus sur tes travaux, je suis intrigué par la phrase "à quoi ressemble une figure vue de l'infini"

Je t'ai déjà donné quelques explications, donc si tu veux en savoir plus, il va falloir poser des questions plus précises.

[invite72099687]

D'accord, je vais être plus précis.
1) Au sein de tes travaux, peut-on envisagé l'éventualité de considérer la droite et le plan comme ,chacun, des invariants par éloignement ? et est-ce que nous avons aujourd'hui le moyen de le démontrer ? ( et serait-il ainsi intéressant de donner une nouvelle définition de la droite sur la base de cette particularité)
2) Soit une aire donnée finie A, nous pouvons dessiner dans le plan une infinité de courbe fermées ayant cette aire, que penses-tu de la conjecture suivante: parmi l'infinité des courbes fermées, celles pour lesquelles on tend le plus vite vers un point par éloignement sont tous les polygones réguliers et le cercle.( et serait-il ainsi intéressant de donner une nouvelle définition des polygones réguliers et du cercles sur la base de cette particularité, en les regroupant au sein d'une même famille, et sans distinction)
3) si à chaque fois, en s'éloignant, on atteint une dimension inférieure, ( une sphère devient un point, un rectangle un segment,...etc) est-ce que par extension on pourrait pas considérer nos figures de dimensions 3 ( le pavé par exemple) comme la conséquence d'éloignement de figures de dimension 4, ...et ainsi de suite.

Je suis fasciné par la puissance de la théorie des groupes, malheureusement ce n'est pas mon domaine, c'est la raison pour laquelle j'aimerai ,Seirios , savoir si ces questions sont abordables du point de cette théorie. Merci beaucoup

[Turgon]

Bonjour.

Je n'arrive pas trop à voir ce que tu veux faire. Je te donne néanmoins ce conseil: tu cherche à associer à tout élément d'une classe (d'objet géométriques en l'occurence) un nombre. Une première question qu pourra te guider, c'est de te demander par quelles transformation au sein de ta classe d'objet tu considère que ton nombre devra rester invariant: isométrie? Homéomorphisme (non si j'en crois que le carré et le rectangle ne devraient pas avoir le même nombre selon toi)? Autre chose?

Ces considérations devraient te permettre d'avoir une idée des outils mathématiques à utiliser pour définir ton objet.

[Universus]

Bonjour,

Votre problème n'en est pas un d'éloignement. Votre problème en est un de « dispersion » ; par exemple, comment mesurer les tailles relatives d'un objet selon différentes directions ?

Afin de donner un sens plus précis à cette question, nous pouvons penser comme suit. Prenons pour ensemble G de symétries « géométriques » de l'espace euclidien les rotations, les réflexions, les translations et les homothéties. Dans le langage de Klein, nous dirions que notre espace géométrique est où

et (de sorte que ).

Considérons (un sous-ensemble approprié de) l'ensemble des sous-ensembles de . Le groupe G agit sur ; deux éléments sont dits semblables s'il existe un élément tel que . Nous pouvons chercher pour une fonction (un « invariant ») qui soit constante sur les orbites de l'action de G sur . Par exemple, la dimension de Hausdorff est un invariant, mais pas le volume.

Nous pouvons chercher pour un invariant formalisant cette notion vague de « dispersion ». Il y a en toutes sortes. Nous dirions alors que deux figures géométriques se « ressemblent » d'autant plus (selon le critère F) que leur valeur sous F est proche. Pour simplifier les choses, considérons seulement le sous-ensemble des ensembles compacts de qui sont égaux à l'adhérence de leur intérieur. L'action de G sur se réduit à une action de G sur .

1) Soit . Notons le diamètre du plus petit disque circonscrit à et notons le diamètre du plus grand disque inscrit dans . Posons . Si n=2 et X est un disque, alors . Si n=2 et X est un carré, alors . Si n=2 et est un rectangle dont le rapport "grand côté/petit côté" vaut , alors .

2) Dénotons par la grassmannienne des hyperplans non-orientés de passant par « l'origine » (la notion d'origine de l'espace n'est pas tout à fait naturelle à l'égard du groupe G, mais passons sur ce détail). Étant donné un tel hyperplan H, nous pouvons considérer la projection orthogonale . Soit . Notons

et .

Posons . Si n=2, alors vaut la même chose que sur le disque, le carré ou le rectangle. Cependant, pour des formes plus compliquées, par exemple des formes concaves, ces deux F ne coïncident pas.

3) Si nous avons une notion de « distance », de « proximité » entre n'importe quels deux éléments qui est invariante avec l'action de G, c'est-à-dire que pour tout g, X et Y, alors en dénotant par le disque, nous pouvons définir un invariant comme étant . Par exemple, si est l'opération de différence symétrique entre deux ensembles (c'est une opération équivariante sous l'action de G), alors nous pouvons prendre .

4) Je ne vais pas m'épancher sur la prochaine possibilité, mais nous pourrions définir des sortes de « normes » sur que nous pourrions alors normaliser afin de définir des invariants . D'ailleurs, il pourrait s'agir d'invariants assez fins...

Si vous voulez considérer d'autres figures géométriques que les , par exemple, des segments dans le plan ou des fractales, je pense qu'il suffit de considérer des -voisinages de ces ensembles, de calculer sur cet ensemble, possiblement de diviser ou multiplier le résultat par (où d est la "dimension" de l'ensemble d'intérêt), puis de prendre la limite quand . Par exemple, selon cette procédure, si X est un segment droit dans le plan de longueur aurait . De la sorte, un rectangle « ressemble » bien à un segment et un carré à un point.

Bref, nous voyons qu'il y a vraiment de quoi faire...

[invite72099687]

Merci beaucoup pour toutes ces pistes, Turgon, quand tu dis "Une première question quI pourra te guider, c'est de te demander par quelles transformation au sein de ta classe d'objet tu considère que ton nombre devra rester invariant: isométrie? Homéomorphisme (non si j'en crois que le carré et le rectangle ne devraient pas avoir le même nombre selon toi)? Autre chose", en réalité la grande différence avec les transformations classique c'est que ce nombre ( la dimension ) n'est pas invariant par éloignement, dans le cas du rectangle par exemple, en s'éloignant indéfiniment le rectangle voit sa dimension faire la chose suivante: passer de 2 à 1 ( car le rectangle est assimilable très loin à un segment) puis passer de 1 à 0 ( car le segment devient de plus en plus petit, jusqu'à être assimilable à un point). Vous voyez, là est tout le problème, par le biais de l'éloignement je voudrai introduire les dimensions comme des variables et non plus comme une caractéristique figée propre à tout objet.Comment m'y prendre ?

[invite72099687]

Universus, quelles sont les branches précises des mathématiques qui interviennent dans ton raisonnement ?

[Universus]

Universus, quelles sont les branches précises des mathématiques qui interviennent dans ton raisonnement ?

Il y a plusieurs branches, mais rien de particulièrement profond dans aucune. Espaces métriques ; théorie de la mesure ; actions de groupes sur les ensembles et les espaces métriques ; géométrie élémentaire ...

Si vous voulez considérer d'autres figures géométriques que les , par exemple, des segments dans le plan ou des fractales, je pense qu'il suffit de considérer des -voisinages de ces ensembles, de calculer sur cet ensemble, possiblement de diviser ou multiplier le résultat par (où d est la "dimension" de l'ensemble d'intérêt), puis de prendre la limite quand . Par exemple, selon cette procédure, si X est un segment droit dans le plan de longueur aurait . De la sorte, un rectangle « ressemble » bien à un segment et un carré à un point.

J'ai été trop vite en affaire ici. J'obtiens un résultat dépendant de la longueur du segment, or la longueur d'un segment n'est pas un invariant de l'action de G. Donc la construction proposée dans ce paragraphe n'est pas appropriée. Ça peut se corriger, mais puisque tout segment droit est semblable à un autre, l'invariant résultant donnerait la même réponse pour tous les segments. Du coup, pas moyen d'associer un rectangle au segment qui lui correspondrait le mieux.

Bref, les quelques constructions effectuées dans mon précédent message ne formalisent pas si bien ce que vous pourriez avoir en tête. Nous pouvons formaliser diverses des idées que vous avez, mais l'ensemble de ces idées mène à quelque chose de chimérique et d'assez peu naturel...

Vous pensez à quelque chose de plus rigide que l'équivalence d'homotopie, mais de plus souple que l'homéomorphie. Vous pensez aussi attribuer aux figures géométriques des invariants assez fins, d'une part assez rigides pour distinguer les diverses équivalences possibles, mais qui d'autre part (considérant votre réponse à Turgon) sont variables lors des déformations ou qui permettraient de parler des variations d'autres notions...

[invite72099687]

Oui tout à fait, étant donné que je ne pense pas obtenir de résultats pertinents dans le cas des espaces métriques, je me suis tourné vers les dimensions de Hausdorff : qui semble être le seul domaine qui pare de dimensions fractionnaires et donc d'une possibilité de considérer les dimensions comme un processus qui varie de façon continue et non plus comme une variable discrète. Il n'y a cependant rien de trivial à construire de telles souples variables à partir des dimensions de Hausdorff. J'ai vraiment besoin d'aide

[invite72099687]

Tout ceci part d'un constat tout bête, je me rends compte que les mathématiques actuelles ne semblent pas démontrer l'assertion suivante: "Un carré qui s'éloigne devient petit à petit un point alors qu'un rectangle devient petit à petit un segment". Rien ne nous permet de démontrer que l'assertion suivante est fausse : "Un carré qui s'éloigne devient petit à petit un cube". C'est quand même bizarre que ceci semble si étrange à démontrer.

[Universus]

Tout ceci part d'un constat tout bête, je me rends compte que les mathématiques actuelles ne semblent pas démontrer l'assertion suivante: "Un carré qui s'éloigne devient petit à petit un point alors qu'un rectangle devient petit à petit un segment". Rien ne nous permet de démontrer que l'assertion suivante est fausse : "Un carré qui s'éloigne devient petit à petit un cube". C'est quand même bizarre que ceci semble si étrange à démontrer.

Ma réponse demeure la même : la difficulté que les mathématiques actuelles peuvent avoir à démontrer cet énoncé est avant tout de donner un sens à cet énoncé. Pour vous, ça a peut-être un sens plus ou moins limpide. Pour tous ceux qui ont intervenu sur ce fil, bien que nous comprenions un peu le sentiment qui vous habite, cet énoncé n'a pas de sens clair. Du coup, il faut lui en donner un, même approché... et c'est difficile.

[invite72099687]

Tout à fait Universus, donner un sens à cet énoncé doit passer par l'application d'un langage rigoureux et sans spéculations visuelles, y'a-t-il une ou des branches précises et très spécialisées des mathématiques qui me permettront, par leurs études approfondies, de donner une base rigoureuse à ces idées ? Peux-tu partager ton expérience sur la question et comment toi tu attaquerai le problème ?

[Turgon]

Autre chose", en réalité la grande différence avec les transformations classique c'est que ce nombre ( la dimension ) n'est pas invariant par éloignement, dans le cas du rectangle par exemple, en s'éloignant indéfiniment le rectangle voit sa dimension faire la chose suivante: passer de 2 à 1 ( car le rectangle est assimilable très loin à un segment) puis passer de 1 à 0 ( car le segment devient de plus en plus petit, jusqu'à être assimilable à un point).

Je pense que dans ce cas là, ton invariant ne doit pas être associé à un simple objet A mais à un couple (A,p) où p est un point et il exprimerait la "dimension asymptotique de A dans la direction du cône engendré par les a-p (comme vecteurs) pour a appartenant à A. De plus, si il varie, il serait fonction de la distance de p à A.

Si tu ne nous fournit pas de matériel formel sur lequel argumenter mathématiquement, je ne peut pas t'aider plus. Bonne chance en tout cas!