Extension des dimesnsions de Hausdorff

[invite72099687]

Oui Turgon, mais que penses-tu de la façon suivante de l'aborder: mon nombre ( appelons le d) est invariant tant qu'on ne touche pas à la nature du carré et à son aire ( dans le cas du carré bien sur) alors j'ai eus l'idée de poser une fonction f de deux variables avec f( x, y)=d ( où x est l'aire du carré et y une variable qui rend compte de sa nature) on voit tout de suit que y a un rapport avec l'homéomorphisme car l'homéomorphisme correspond précisément au cas ou x demeure constant et y varie ( pour donner par exemple un rectangle de même aire que le carré) , c'est vous qui m'avez suggérer de regarder à quel moment d est invariant, je pense que tant qu'on ne touche pas à la nature de la figure géométrique et/ou à son aire d demeure invariant ( par rotation ou translation par exemple), s'il vous plait j'aimerai avoir plus de conseils ou de critiques de votre part Turgon car je pense être sur la bonne voie, mais je ne sais pas comment écrire y car je ne m'y connais pas trop en homéomorphisme, comment s'y prendre ?
-----

[Universus]

Tout à fait Universus, donner un sens à cet énoncé doit passer par l'application d'un langage rigoureux et sans spéculations visuelles, y'a-t-il une ou des branches précises et très spécialisées des mathématiques qui me permettront, par leurs études approfondies, de donner une base rigoureuse à ces idées ? Peux-tu partager ton expérience sur la question et comment toi tu attaquerai le problème ?

Je ne sais pas. À mon goût, mes deux précédents messages offrent des pistes intéressantes, malgré le bémol que j'ai émis. Sans objectif précis, tout est permis !

Ceci dit, en s'inspirant du message de minushabens, nous pourrions « éroder » les figures géométriques éléments de afin d'obtenir des objets plus petits, pas nécessairement de dimension n. Par exemple, étant donné , nous pouvons considérer sa frontière est l'épaissir : pour , posons où est la boule ouverte centrée en de rayon . Définissons l'érosion de comme l'ensemble où . Ainsi définie, l'érosion est un compact non vide, en vertu de la propriété d'intersection finie de la famille de compacts . L'érosion d'un carré est un point (son centre) tandis que l'érosion d'un rectangle est un segment.

[invite72099687]

D'accord et donc mon idée de fonctions de deux variables semble plutôt simpliste non ?

[invite72099687]

Là aussi, l'érosion provient de quelle(s) branche(s) des mathématiques ? Que faut-il que j'étudie pour comprendre les signes présents dans ta dernière explication ?

[Turgon]

Si "je ne m'y connais pas trop en homéomorphisme" signifie "je ne m'y connais pas trop en topologie" alors la première chose à faire, avant même de chercher quoi que ce soit, est de suivre un cours de topologie. Cela te donnera la grammaire fondamentale avec laquelle aborder les problème de l'espace.

De plus, plusieurs de tes idées sont en contradiction les unes avec les autres. Par exemple, tu me dit que ton nombre ne changerais pas si l'on ne change pas l'aire et la nature de la figure, sauf que deux carrés de même aires sont isométriques, donc dans le cas du carré, cela serait un invariant métrique.
Or dans un précédent poste, tu avais l'intuition que quand le carré "s'éloignait à l'infini" il devenait "équivalent à un point" et donc ton nombre changeait. Mais quand un carré s'éloigne à l'infini, sa métrique interne demeure la même donc d'après ton post précédent, ta fonction de (x,y) ne devrait pas varier (l'aire et la "nature géométrique" ne changent pas)!

Il y a donc quelque chose qui cloche dans ton intuition, je t'ai suggéré que peut être ton "invariant" devait dépendre aussi d'un point duquel l'objet était plus ou moins éloigné. Dans tout les cas, commencer par en apprendre plus sur la notion d'homéomorphisme ne pourra que t'aider à raffiner ton intuition et à te débarrasser de ces contradiction internes.

[Universus]

Là aussi, l'érosion provient de quelle(s) branche(s) des mathématiques ? Que faut-il que j'étudie pour comprendre les signes présents dans ta dernière explication ?

Les notions de « boule ouverte », de « frontière », de « connexité » et de « compact » sont des notions de topologie générale spécifiées au cas des espaces euclidiens. Le reste de mon message n'est que de la théorie (naïve) des ensembles. L'idée d'érosion que j'ai définie m'a été inspirée suite à la lecture de l'article wikipédia portant sur la « morphologie mathématique » à laquelle minushabens a fait allusion.

Ce que tu cherches peut-être le plus à faire, c'est obtenir une construction qui soit équivariante sous l'action du groupe G que j'ai considérée dans un précédent message (il s'agit de théorie des actions de groupes). L'érosion, vue comme application , est G-équivariante.

[invite72099687]

Merci Turgon pour cette franchise, c'est ce dont j'ai besoin. Pour ne plus faire de contradictions je vais résumer le fil de mon idée avec plus de clarté. Pour reprendre l'exemple du carré j'aimerai:

1) lui associer un nombre qui varie que si l'aire et/ou la nature même du carré varie

2) pour cela, je veux associer un nombre d avec d=f(x,y) ( ou x est l'aire du carré (x aurait été le volume de la boule dans le cas d'une boule) et y est une variable qui a elle seule concentre le fait que le carré devient autre chose si y varie, par exemple y change quand le carré est déformé pour devenir un rectangle, même en conservant la même aire)

3) Une fois définie d, je pourrai regarder comment d varie par éloignement, intuitivement par exemple pour le rectangle d passe de 2 à 1 en devenant un segment, puis de 1 à 0 en devenant un point.

Jusqu'ici il n'y a aucune contradiction j'espère, et mon but est d'utiliser l'homéomorphisme pour précisément définir y

[invite72099687]

Mon objectif est de créer une variable d qui ne contredit pas la dimension de Hausdorff mais qui l'a généralise

[invite72099687]

Comment je peux m'y prendre et quelles branches de mathématiques je dois solliciter ? Merci d'avance pour tout éclaircissements