Bonsoir à tous,
J'ai fait le calcul pour montrer que la méthode du point milieu utilisée pour la résolution numérique de :
est un schéma d'ordre 2 et je voudrai le vérifier avec vous. f est supposée être aussi régulière que l'on souhaite.
Le but est de montrer que x(h)-x1=O(h3). Voici ce que j'ai fait :
D'abord j'ai développé x(h) jusqu'à l'ordre 3 :
Puis j'ai développé en h le terme f((x1+x0)/2) jusqu'à l'ordre 3, et ce, en remplaçant x1 par son expression donnée par le schéma du point milieu :(1)
Ceci me permet de remplacer les deux premiers termes dans (1) :
Le deuxième terme dans cette dernière égalité est égal à un O(h3) (par bornitude de f et f"), alors que, dans le premier terme, f((x1+x0)/2) est égal à un O(h), ce qui donne au final un O(h3) dans tout le membre de droite de (3).(3)
J'espère ne pas avoir commis de fautes.
Bien cordialement.
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