Espace de banach

[invitef53905f1]

bonjour pouvez vous s'il vous plait m'aider a demontrer ce resultat:
soit X et Y deux espaces vectoriel normé
montrer que si B(X, F)est non reduit a l'application nul et B(X,Y) est de banach alors Y est de banach
AVEC F designe R ou C ET B(X,Y) designe l'ensemble des fonction de X a valeurs dans Y lineaire ,continue et bornée
voici ma reponse pouvez vous me la coriger :
comme B(X, F)est non reduit a l'application nul ,alos il esciste L:X→F telque L(x)#0 pour tout x#0
soit (y_n) une suite de cauchy dans Y montrons qu'elle converge
on a ∀ε>0 ∃N>0 telque ∀n>m>N ||y_n-y_m||≤ε_/||L||
soit (An) une suite de B(X,Y) telque
A_n(x)=l(x)y_n pour tout x∈X
on a ∀ε>0 ∃N>0 telque ∀n>m>N ||A_n(x)-A_m(x)||≤||L||.||y_n-y_m||≤ε pour tout x∈X telque ||x||≤1
par suite ∀ε>0 ∃N>0 telque ∀n>m>N ||A_n-A_m||≤ε
ce qui signifie que (A_n) est une suite de cauchy dans B(X,Y) qui est de banach
donc A_n→A ∈ B(X,Y)
par suite A_n(x)→ A(x) ∈Y pour tout x∈ X
ce qui donne l(x)y_n → A(x) pour tout x ∈ X par suite y_n → A(x)/l(x)∈Y pour tout x∈ X
on conclut alors que Y est de banach.
merci en avance
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[invite93e0873f]

Bonjour,

comme B(X, F)est non reduit a l'application nul ,alos il esciste L:X→F telque L(x)#0 pour tout x#0

La déduction est erronée : si par exemple, alors toute application linéaire a un noyau non trivial.

En fait, ceci est vrai : « comme B(X, F) n'est pas réduit à l'application nulle, il existe une application linéaire L:X→F non identiquement nulle, c'est-à-dire qu'il existe vérifiant L(x)#0 . »

Heureusement, le reste de votre argument n'utilise pas de manière cruciale la déduction que vous avez faite, seulement l'énoncé corrigé.

soit (y_n) une suite de cauchy dans Y montrons qu'elle converge
on a ∀ε>0 ∃N>0 telque ∀n>m>N ||y_n-y_m||≤ε_/||L||

D'accord.

soit (An) une suite de B(X,Y) telque
A_n(x)=l(x)y_n pour tout x∈X

L'utilisation du « soit » n'est pas vraiment une erreur, mais c'est un peu maladroit, puisque les applications A sont complètement définies par l'égalité de la seconde ligne. Il vaudrait mieux écrire

« considérons la suite définie par pour tout et tout . »

on a ∀ε>0 ∃N>0 telque ∀n>m>N ||A_n(x)-A_m(x)||≤||L||.||y_n-y_m||≤ε pour tout x∈X telque ||x||≤1
par suite ∀ε>0 ∃N>0 telque ∀n>m>N ||A_n-A_m||≤ε
ce qui signifie que (A_n) est une suite de cauchy dans B(X,Y) qui est de banach
donc A_n→A ∈ B(X,Y)
par suite A_n(x)→ A(x) ∈Y pour tout x∈ X
ce qui donne l(x)y_n → A(x) pour tout x ∈ X

D'accord.

par suite y_n → A(x)/l(x)∈Y pour tout x∈ X
on conclut alors que Y est de banach.

Ici, en écrivant « pour tout x∈ X », vous utilisez la fausse déduction faite au début de l'argument. Ce faisant, cette étape est aussi erronée. Or, il suffit de considérer tel que et un tel x existe par le choix même de L. Ainsi, vous devriez écrire « par suite, quel que soit satisfaisant , on a . On conclut alors que Y est de Banach. »

[invitef53905f1]

bonjour Universus
merci pour votre aide .pouvez vous s'il vous plait voir ma reponse posté sous le nom''espace de hilbert'' et m'aider a la corriger?mercien avance

[invitef53905f1]

pardon c'est sous le non Analyse de hilbert voici le site
http://forums.futura-sciences.com/ma...e-hilbert.html

[A voir en vidéo sur Futura]