[Théorie des groupes] Montrer que l'ordre d'un élément vaut p

[invitef934eafc]

Bonjour, je ne sais pas comment avancer dans cet exercice ; je suis totalement bloqué.

Soit E un groupe d'ordre 2k avec k un nombre premier. Soient d'ordre 2 tels que , montrer que o(xy) = k.

On a que , mais je ne sais aucunement comment procéder.

Merci d'avance !
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[invite57a1e779]

L'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe. Ici, est donc d'ordre 1, 2, k ou 2k. Il suffit d'étudier chacune des cas.

Par exemple d'ordre 1, c'est-à-dire , est impossible :
si alors , contrairement l'hypothèse.

[invitef934eafc]

Merci, cela m'aide grandement. J'ai réussi dans tous les cas sauf si l'ordre de xy est 2. Je trouve que xy = yx, mais je n'arrive pas à tomber sur une contradiction. J'avais oublié de spécifier que k > 2 et que E n'est pas cyclique.

Merci d'avance !

[invite57a1e779]

Dans le cas qui te reste à traiter, il me semble que {e,x,y,xy} est un sous-groupe de E.

[A voir en vidéo sur Futura]