Développement limité de 1/(sin²(x))

[lepetitchimiste]

bonjour à tous,

je cherche à calculer le DL de 1/(sin²(x)) en x=0 d'ordre 4

J'ai fait:

sin(x) = x - x^3/3 + x^5/5
donc sin²(x) = (x - x^3/3 + x^5/5) * (x - x^3/3 + x^5/5)
= x² - (2x^4)/6 en ne prenant que les "x" de degré supérieur ou égal à 4

donc logiquement: 1/sin²(x) = 1/x² - 6/(2x^4) +x^4E(x)

Sauf que ça ne doit pas être ça car la correction du prof donne: 1/sin²(x) = 1/x² + 1/3 + x²/12 + (2x^4)/189 + x^4E(x)

Pouvez vous m'aider à comprendre la correction du prof car je ne vois pas du tout comment il a pu trouver ce résultat

Cdt,
Mathieu
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[thepasboss]

Bonjour,

donc logiquement: 1/sin²(x) = 1/x² - 6/(2x^4) +x^4E(x)

Donc logiquement ?
Aie !! Il faut reconnaître un machin de la forme pour la dernière étape.

[gg0]

Bonjour Lepetitchimiste.

Formellement, il ne s'agit pas d'un DL, mais on va y arriver en remarquant que est équivalent en 0 à et étudier .En utilisant éventuellement un DL de sin(x), on montre que cette fonction (prolongée par continuité en 0 se prolonge par continuité en 0, et y est dérivable jusqu'à l'ordre au moins 4. Puis on peut obtenir le DL.

Une autre façon de faire est de partir de dont on obtient facilement un DL après avoir développé le sinus et simplifié par x², par division par puissances croissantes. Ensuite, on divisera par x². Dans ce cas, on ne justifie rien, mais on a eu tout de suite le résultat.

Cordialement.

NB : j'adore ton "logiquement" qui n'a rien à voir avec la logique, mais seulement avec ton envie d'en finir vite !!!

[lepetitchimiste]

tout d'abord merci de vos réponses,

je les étudie demain et je vous re-répondrai si j'ai encore besoin de vous,

[A voir en vidéo sur Futura]