Integration sur une variété

[invitecbade190]

Bonjour à tous,

Si est une variété différentiable muni d'un Atlas , on sait calculer l’intégrale d'une forme différentielle sur grâce à la partition de l'unité : par la formule : avec : .

Ma question est de savoir s'il existe une façon de calculer l'intégrale d'une forme différentielle : sur une variété algébrique projective définie par : ? et de quel type sont les qui admettent une intégration , lorsque est une variété algébrique projective ?

Merci d'avance pour votre aide.
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[invite93e0873f]

Bonjour,

Le lieu singulier d'une variété algébrique est de mesure nulle, donc il suffit d'intégrer sur son complément, qui est lisse. Cela permet probablement aussi d'intégrer des formes ayant certaines singularités raisonnables sur le lieu singulier.

[invitecbade190]

Bonjour,

Le lieu singulier d'une variété algébrique est de mesure nulle, donc il suffit d'intégrer sur son complément, qui est lisse. Cela permet probablement aussi d'intégrer des formes ayant certaines singularités raisonnables sur le lieu singulier.

Merci. En fait, je cherche à calculer l’intégrale sur , variété algébrique projective non singulière. Quelle est la procédure à suivre ?
Merci d'avance.

[invite93e0873f]

Si la variété est non singulière, elle est lisse et l'intégrale se calcule alors comme vous l'avez résumé.

Cela dépend de la variété précise et de la forme différentielle précise, mais il existe une carte affine U telle que est dense dans et sur laquelle la forme (possiblement rationnelle ?) a une expression « contrôlable ». Ça rend la situation un peu plus usuelle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Si la variété est non singulière, elle est lisse et l'intégrale se calcule alors comme vous l'avez résumé.

Cela dépend de la variété précise et de la forme différentielle précise, mais il existe une carte affine U telle que est dense dans et sur laquelle la forme (possiblement rationnelle ?) a une expression « contrôlable ». Ça rend la situation un peu plus usuelle.

Merci beaucoup. en fait, je suis loin de comprendre votre méthode.
Tu affirmes que le calcul de l’intégrale sur se fait comme je l'ai résumé au début, mais une variété algébrique n'est pas défini par un Atlas, mais définie comme étant seulement le lieu d'annulation d'un certain nombre de polynômes homogènes, contrairement au cas des manifolds, donc, je ne peux pas appliquer la définition que j'ai donné au début, non ? Qu'est ce que c'est que une carte affine svp ? Je voudrais m'initier au calcul de ce genre d’intégrale algébrique, comment faire ?

Merci infiniment pour votre aide.

[azizovsky]

Salut, il faut regarder du coté des variétés de Hodge et Kählériennes (les cycles).

[invite93e0873f]

Je sais que ce n'est pas exactement le même contexte, mais ça reste une application usuelle des définitions abstraites aux situations concrètes.

Comment intégrez-vous concrètement sur un cercle, disons sur le cercle bien rond de rayon 1 centré à l'origine du plan euclidien (bref, sur le lieu d'annulation de ) ? Vous le paramétrez ou, de manière équivalente, vous utilisez des coordonnées afin de ramener le calcul à une intégrale usuelle sur un intervalle. Lorsque possible, le système de coordonnées est choisi afin que presque tous les points du cercle soient considérés. Par exemple, vous pouvez prendre la coordonnée angulaire . Dans ce cas, seul le point du cercle est omis, ce qui ne change rien dans un calcul d'intégrale (pour autant que l'intégrande ne diverge pas trop près de ce point).

Ainsi, calculer (pour une 1-forme différentielle à valeurs dans , ou plus simplement continue voire lisse) revient à calculer . Par définition de cette dernière intégrale, cela revient à calculer où .

Selon les circonstances, certains raccourcis sont possibles : utiliser le théorème de Stokes, utiliser la dualité de Poincaré afin de calculer autre chose sur tout l'espace et pas seulement sur la sous-variété, etc. La dualité de Poincaré peut s'avérer franchement utile dans votre situation, car une forme représentante de la classe duale de Poincaré peut s'obtenir à l'aide du polynôme P déterminant la sous-variété algébrique.

[invitecbade190]

Tout d'abord, je vous remercie beaucoup pour vos réponses à vous deux @azizivsky et @Universus.

@azizovsky : Merci, je vais me pencher à chercher la signification de ces trucs que tu évoques.

@Universus : Merci pour toutes ces précisions. Je comprends assez bien la manière d'intégrer sur un cercle, c'est un cas particulier facile à calculer parmi d'autres beaucoup plus difficile à calculer. Par exemple, quant la variété est avec : par exemple, et là ça se complique.
Mais, ce qui m’intéresse plus ce que ça, est comment par exemple trouver l’intégration d'une forme différentielle sur , là aussi, ce n'est pas assez évident. Est ce que c'est facile aussi de faire ce genre de calcul ?

Merci infiniment.

[invitecbade190]

Pour l'idée relative à la dualité de Poincaré, tu sembles faire allusion au fait que : avec appartenant au complémentaire de l'espace dans le quel se trouve ( i.e : son dual ), mais comment trouver cette ?
Merci d'avance.

[azizovsky]

cette forme avec une forme différentiélle et sur le duel est la forme d'un courant sur la variété .

[invite93e0873f]

C'est comme n'importe quoi : face à des problèmes concrets, il n'y a souvent que le calcul ou l'astuce pour les résoudre et aucune méthode générale et simple.

Par exemple, dans votre équation vue comme définie sur ou , nous pourrions considérer la carte affine , dans quel cas le polynôme inhomogène associé est , ce qui se cartographie peut-être plus facilement. D'un autre côté, seulement en regardant la théorie des courbes elliptiques (qui ne sont pas données par des polynômes de degrés 6, loin de là...), nous voyons bien qu'il y a une certaine difficulté à mener ce genre de calculs.

Si 0 est une valeur régulière de f, f étant interprétée comme fonction sur un espace projectif (donc compact), le lieu d'annulation est une variété lisse fermée. Cette fermeture fait en sorte que l'intégration est intimement liée à des opérations topologiques entre classes d'homologie et de cohomologie : . En particulier, ça peut donner des idées pour « déformer » la forme différentielle d'intérêt en une forme cohomologue plus simple. L'intersection de variétés peut être liée à l'intersection homologique (le produit cap) qui est une opération duale au produit cup, etc. Je ne joue pas avec ces choses-là quotidiennement, c'est pourquoi je ne parviens pas à donner une explication à la fois générale et détaillée de leur utilisation, mais à quelques occasions j'ai simplifié bien des calculs en effectuant de tels « changements de point de vue ».

Le dual de Poincaré d'une sous-variété lisse peut être représentée par n'importe quelle forme différentielle fermée « transversale à V » à support compact « d'intégrale transversale 1 ». Plus précisément, ce n'est que la classe de Thom du fibré normal qui est en jeu. Ainsi, en prenant un produit extérieur de avec elle-même suffisamment de fois et en multipliant par une fonction à support compact approprié, je suppose qu'il y a de quoi obtenir un représentant de cette classe de Thom.

[invitecbade190]

Merci beaucoup pour toutes ces précisions @Universus et @azizovski.

@Universus : Tu donnes des réponses très pertinentes, je te remercie beaucoup. Je sais juste ce qu'est le cap et cup products que j'ai appris en topologie algébrique, mais, je n'ai aucune idée de ce qu'est une classe de Thom et de ce qu'est un fibré normal. Je vais chercher tout de suite sur le net pour commencer à les apprendre.
Est ce que tu peux me dire ( et azizovsky aussi ) quels sont les prérequis à avoir avant de commencer à lire l'ouvrage de William Fulton intitulé : Intersection theory. Je le trouve hors de mon niveau, j'ai seulement réussi à déchiffrer le premier chapitre : cycles algébriques, anneau de Chow, multiplicités d'intersection ... etc. Ces choses là, je les ai vu à maintes reprises dans différents autres cours. Mais, il reste encore inabordable pour moi pour le moment. Que me conseillez vous de faire avant de commencer à lire la suite de ce cours, car, je le dis franchement, il est difficile pour moi. Il y'a des notions que je ne trouve dans aucun autre livre de mathématiques. Par quoi commencer pour que la suite devient plus flexible et facile à aborder ?

Merci d'avance pour votre aide.

[invite93e0873f]

Je ne suis pas familier avec la géométrie algébrique « pure et dure ».

Pour diverses raisons, principalement pour mieux comprendre les aspects algébriques/homologiques des intersections, j'ai été tenté de consulter le livre de Fulton ; mais en lisant la table des matières et en lisant des critiques du livre, je me suis bien rendu compte que ce livre était trop poussé avec un point de vue qui ne me convenait pas, donc je ne l'ai jamais lu (et ne le lirai peut-être jamais).

Je ne peux pas vous aider à ce propos.

[azizovsky]

Bonjour, moi aussi je ne peut rien dans ce domaine, ce que je sais c'est qu'il faut avoir une licence (une maitrise) en maths pour aborder la géométrie algébrique, ce qui est demander par exemple pour la lecture de géométrie contemporaine (tome 2) de Doubrovine, Novikov ,Fomenko (tome 1,2 et 3), l'important est de savoir pourquoi chercher dans un sens que dans un autre (un but).

[azizovsky]

la quête de généralisation en maths est l'apanage des génies, il ne faut pas tomber dans un fossé en cherchant des généralisations, il faut avoir son propre chantier sur le quel on essaye tous. (recherche des supports formels)

[invitecbade190]

Bonjour,

Je vous remercie d'abord, pour l'aide que vous m'avez fourni hier, @Universus et @azizovski.

J'ai une autre question à vous demander : Hier, on a parlé de dualité de Poincaré, et on a dit que, pour un variété algébrique projective complexe non singulière quelconque, il existe tel que : , j'aimerai savoir s'il existe une correspondance bijective ou surjective ou injective : ? Comment est décrite cette correspondance ? Avez vous un support d cours qui confirme ça ?

Merci d'avance.

[invite93e0873f]

De prime abord, la dualité de Poincaré s'opère entre homologie et cohomologie d'une variété : si M est une variété de dimension n (même plus généralement un CW-complexe fini), alors pour tout , il existe un isomorphisme . Ici, l'indice « c » indique qu'il s'agit de la cohomologie à support compact ; si l'espace M est déjà compact, alors .

La dualité de Poincaré a la propriété suivante : si et si , alors le produit de dualité est bien défini et s'avère égal à où est la classe fondamentale de l'espace total M. (Si M n'est pas orientée, il faut alors travailler avec des coefficients dans , mais sinon je pense que ça tient pour tous les coefficients et certainement pour les réels ou les complexes).

Si M est une variété lisse, en trouvant une forme représentant (via l'isomorphisme de de Rham) et une sous-variété V représentant v (lorsque c'est possible), alors nous avons . Ainsi, si est une forme représentant , nous avons .

Or, des représentants, il y en a une panoplie. Donc, bien qu'il soit probablement possible de concocter le genre de bijection que vous recherchez en effectuant certains choix précis dans la construction d'un représentant de la classe de Thom (qui donne lieu à un représentant ), cela reste assez arbitraire. Ce n'est pas nécessairement souhaitable non plus, puisque ça détruit en apparence l'aspect « topologique » des intégrales ci-dessus.

Par exemple, si est une fonction telle que est une valeur régulière de chaque , alors les lieux d'annulation sont toutes des sous-variétés plongées sans bord de dimension homologues. Si est une forme différentielle fermée, en notant l'inclusion canonique, alors est indépendant de t. C'est génial, puisque peut possiblement se calculer bien plus aisément que !

[invitecbade190]

Merci pour toutes ces précisions @Universus. Je suis très ravi de discuter avec toi. Tu es trop jeune, et tu es un vrai ténor en mathématiques, ça se voit très bien dans ta façon d'expliquer. Un bel avenir t'attend en continuant ainsi.

Cordialement.

[invite93e0873f]

Merci beaucoup pour ces bons mots et pour votre appréciation, ils me font bien plaisir. Malheureusement, je ne me perçois pas du tout ainsi, bien au contraire... Enfin !

Vos questions deviennent assez spécialisées en géométrie algébrique et je ne sais pas si vous aurez l'occasion d'avoir bien plus de réponses à l'avenir sur Futura-Sciences. Peut-être trouveriez-vous davantage votre bonheur en consultant les forums MathOverFlow et MathStackExchange qui, d'après ce que j'ai pu voir, attire plusieurs personnes au fait de ce sujet. Je connais personnellement quelques étudiants passionnés de géométrie algébrique qui sont assez présents sur ces sites.

[invitecbade190]

Merci. Oui, je fréquente souvent mathstrackexchange.com. C'est un très beau site dédié à la mathématique pour les anglophones.
Cordialement.