Petites questions d'algèbre linéaire

[invite508de0cc]

Bonjour, je me souviens plus trop de mes cours d'algèbre linéaire et je me pose donc des questions (je mélange beaucoup de choses je pense) :
1) Est-ce qu'il existe un lien entre bijectivité, injectivité, surjectivité et rang d'une application linéaire ? Ou plutôt est ce qu'on peut déduire le caractère injectif, surjectif ou bijectif à l'aide du rang ?
2) Pourquoi une application non injective a son déterminant égal à 0 en dimension finie ?
3) Pourquoi il est évident que le noyau d'un produit scalaire (ou plus généralement forme bilinéaire non dégénéré) est réduit à {0} ?
Voilà je sais que ce sont probablement des questions bêtes mais j'en ai besoin pour avancer. Merci d'avance pour vos réponses, cordialement.
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[gg0]

Bonjour.

Vu le genre de question que tu poses, je ne saurais trop t'encourager à relire un bouquin d'algèbre linéaire niveau L1-L2. Car ce sont seulement des questions de cours. Et j'imagine que tu vas avoir besoin progressivement de bien d'autres réponses qui sont évidentes quand on se remet les idées en place.
Mais pour te répondre un peu :
1) oui. parfois.
2) Une application linéaire n'a en général pas de déterminant. Pour un endomorphisme en dimension finie, voir un cours (soit c'est évident parce qu'on sait déjà pas mal de choses, soit ce n'est pas sur un forum qu'il y aura la très longue réponse).
3) Parce que c'est la définition.

Cordialement.