Petites questions d'algèbre

[invite616e6f6a]

Bonjour!

J'ai quelques petites affirmations en algèbre dont je n'arrive pas trop à prouver si c'est vrai ou faux.

On se situe sur K.

1) det(V1, V2, V3) implique que V3 est combinaison linéaire de V1 et V2.
Je pense que c'est vrai, car dans ce cas, on peut avoir une ligne/colonne de 0. Mais ca me gene ici car j'ai l'impression de demontrer dans l'autre sens...

2) une matrice de dimension n, et de rang 2 et ayant 3 valeurs propres distinctes est diagonalisable;
Vu que rangA=2, les lignes/colonnes de A sont linéairement dependants, mais apres...

3) si A est diagonalisable, alors ^tA l'est aussi
Là j'ai pensé utiliser le fait que det(A)=det(^tA), mais je n'arrive pas à conclure.

Meri d'avance pr vos indications!
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[invite57a1e779]

Bonjour,

1) det(V1, V2, V3) implique que V3 est combinaison linéaire de V1 et V2.

Je suppose qu'il faut lire ; et si ??

2) une matrice de dimension n, et de rang 2 et ayant 3 valeurs propres distinctes est diagonalisable;
Vu que rangA=2, les lignes/colonnes de A sont linéairement dependants, mais apres...

Une des valeurs propres est nulle, puis tu calcules la dimension des espaces propres, et tu conclus...

3) si A est diagonalisable, alors ^tA l'est aussi

Si , alors

[invite616e6f6a]

Bonjour,

1)On a aucune donnée sur V1 justement...

2)Je ne vois pas pourquoi on peut dire qu'une valeur propore est nulle?

3)J'aboutis à ^tD = ^tP^tA^tP^-1.
Donc la tranposée n'est pas diagonalisable car sinon on devrait avoir : ^tD=P^-1tA.P

[inviteb0df2270]

1) Tu n'as aucune donnée sur V1, donc justement l'énoncé est faux, puisque si V1 était égal à 0 V3 et V2 pourraient être indépendants et le déterminant serait nul. Le truc c'est que l'énoncé, posé tel quel, est faux car il existe un cas où il n'est pas vérifié ! Si ton énoncé avait imposé V1 et V2 indépendants et non nuls, là il serait vrai.

2) La transposée d'une matrice diagonale c'est quoi ?
La transposée d'une matrice inversible est-elle encore inversible ?
Quelle est la définition d'une matrice diagonalisable ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite616e6f6a]

Tu n'as aucune donnée sur V1, donc justement l'énoncé est faux, puisque si V1 était égal à 0 V3 et V2 pourraient être indépendants et le déterminant serait nul. Le truc c'est que l'énoncé, posé tel quel, est faux car il existe un cas où il n'est pas vérifié ! Si ton énoncé avait imposé V1 et V2 indépendants et non nuls, là il serait vrai.

d'accord! J'ai compris enfin ^^
Ahh, j'ai enfin remarqué que j'avais mal écris mon énoncé...c'etait bien det(v1,v2,v3)=0.

La transposée d'une matrice diagonale c'est elle meme.
A est inversible dc detA diff de 0. Or detA=det^tA donc la transposée d'une matrice inversible est aussi inversible.
D'où la transposée de A est diagonalisable si A diagonalisable.

Pour la 2), on sait qu'une matrice est diagonalisable si sa dimension est egale à la somme des dimensions des sous-espaces propres.
Mais, là, cmt faire pr calculer la dim des SEP?On sait seulement que les valeurs propres st distinctes.

[invite57a1e779]

2) une matrice de dimension n, et de rang 2 et ayant 3 valeurs propres distinctes est diagonalisable;

L'espace propre associé à une valeur propre est :
– de dimension non nulle ;
– contenu dans l'image de si .
Réfléchis, prouve que l'une des valeurs propres est nulle, et détermine la dimension des espaces propres.

[invite616e6f6a]

Merci à tous pr votre aide! Je vais plancher dessus!