analyse fonctionnelle

[invitef53905f1]

Bonsoir , s'il vous plait j'ai besoin d'aide , l'exercise est le suivant
Y={x∈lp(2n)=0}, 1≤p≤∞ montre que l^p /Y et l^p sont isometrically isomorpkic .
et cesi mon effort :

Y={x∈lp(2n)=0}, 1≤p≤∞. Y est un ferme dans lp. on Definie le quotient espace lp/Y={x+Y∈lp}. alors, Y est un ferme, et la norme dans lp/Y est definie par ||x+Y||=inf{∥x−y∥p:y∈Y}. est ce que on peut trouver une transformation surjective et lineare T:lp/Y→lp telle que ∥T(x+Y)∥p=∥x+Y∥?
Mon effort: pour le cas p=2, lp est un espace de hilbert , donc on peut trouver un produit scalaire , donc on peut definir une projection orthogonal sur l2. et on peut verifie que T(x+y)=x−PY(x) ( PY is projection orthogonal sur l2) est une transformation lineare et surjective T:l2/Y→l2 telle que ∥T(x+Y)∥2=∥x+Y∥.
comment je continue pour p different de 2
merci d'avance .
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[invite93e0873f]

Bonjour,

Bonsoir , s'il vous plait j'ai besoin d'aide , l'exercise est le suivant
Y={x∈lp : x(2n)=0}, 1≤p≤∞ montre que l^p /Y et l^p sont isometrically isomorpkic .

Qu'est-ce que ici ? Votre message ne le définit nulle part. J'imagine que la véritable définition de Y est . Dans ce cas, l'idée de la démarche est quasi triviale, ne reposant sur rien d'autre que la définition des espaces ...

[invitef53905f1]

bonjour Universur ,ou vous ete tout a fait raison .voici que j'ai essayer de faire pouvez vous s'il vous plait me le coriger
on pose S : lp/Y →lp qui envoi u+Y sur la suite S(u+Y) : n →u(2n)
1)montrons que S est bien définie soit x1#x2 ∈ lp telque x1+Y = x2+Y ∈ lp/Y donc x1-x2∈Y par suite s(x1-x2+Y)(n)=(x1-x2)(2n)=0 par suite (x1)(2n) =(x2)(2n) d'ou s(x1+Y)= s(x2+Y)
2)montrons que s est bijective :
montrons que S est lineaire soit a ∈C ,u=(un)∈lp ,v=(vn)∈lp
pour tout n∈N on a
S(au +v+Y)(n)=(au +v)(2n)=au(2n) +v(2n)=a S(u+Y)(n)+S(v+Y)(n)
par suite on a pour tout a ∈C u=(un)∈lp ,v=(vn)∈lp
S(au +v +Y)= a S((u+Y) +S(v+Y) donc S est lineaire
montrons que S est surjective soit u=(un)∈lp montrons qu'il escist v+Y∈lp /Y telque
telque S(v+Y)=u
on pose pour tout n∈N v(n)={0 si n est impaire, u(n) si n est paire} on a
v=(vn)∈lp car Np(v) = ∑( |v(n)|p)1/p =∑( |u(2n)|p)1/p < =∑( |u(n)|p)1/p
et pour tout n∈N S(v+Y)(n)=v(2n)= u(n)
par suite S(v+Y)=u
d'autre part ker S ={u+Y∈lp/Y telque S(u+Y)=0}={u+Y∈lp/Y telque S(u+Y)(n)=0 pour tout n∈N}={u+Y∈lp/Y telque u(2n)=0}={u+Y∈lp/Y telque u∈Y}={0} par suite S est injective
conclusion S est bijective
3)cette application est isométrique à cause de l'égalité
∑|x+Y|^p =∑ |x(2n)|^p
conclusion lp /Y et lp sont isometrically isomorpkic .
merci en avance

[invite93e0873f]

Je n'ai pas tout lu, pour être honnête. Cependant, vous semblez avoir trouvé les principales idées.

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