Analyse Fonctionnelle

[inviteec33ac08]

Bonsoir,

Voila j'aimerai qu'on m'éclaircisse sur un point de mon cours d'analyse fonctionnelle, le problème est le suivant:

Théorème:

Soit X un ensemble non vide, Y un espace séparé alors:

Une partie de A inclus dans F(X,Y) est relativement compacte pour la topologie de la convergence simple <=> pour tout x dans X l'ensemble A(x):=={f(x)|f dans A} est relativement compacte dans Y

Mon problème se situe dans la preuve, mon prof écrit ceci: A inclus dans Selon moi on devrait avoir l'égalité même si cela ne sert pas à grand chose pour prouver ce théorème mais c'est ce que j'aimerai savoir a-ton l'égalité ?

Car on sait que (F(X,Y), topologie de la convergence simple)=

De plus, j'ai également un autre problème sur un théorème bis d'Ascoli:

Soit X compact, H une partie de l'ensemble des fonctions continues de X à valeurs dans R tel que pour tout x dans X, H(x)={h(x)|h dans H} H(x) est bornée et H est équicontinue. Alors de toute suite (f_n) de H on peut extraire une sous-suite convergente.

Mon problème se situe au niveau de la preuve:

Il est dit que dans R toute partie bornée est relativement compacte car H(x) bornée implique que son adhérence est fermée et bornée donc son adhérence est compact car dans R les compacts sont les fermés bornées donc par le théorème d'Ascoli on a H est relativement compacte pour la topologie de la convergence uniforme jusque là pas de problème mais dans l'énoncé je comprends que la conclusion est H compact et dans la preuve on prouve que l'adhérence de H est compact !!! Qu'en pensez-vous ?

Merci à vous pour vos réponses,
Cordialement
jules345
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[invite93e0873f]

Bonjour,

Pour le premier problème, je pense que l'inclusion est généralement stricte. En effet, prenons . L'ensemble n'a que quatre éléments : , , et (avec la notation envoie et ). Prenons , un sous-ensemble propre de . Alors , donc .

[invite93e0873f]

Pour le deuxième problème, je comprends l'énoncé comme «pour toute suite dans H, il existe une sous-suite convergeant vers un élément de F(X,R)». Bref, n'importe quelle suite équicontinue de fonctions de X dans R admet une sous-suite convergeant vers une fonction continue de X dans R. Pas besoin que la fonction «résultante» fasse partie de la suite. C'est bien ce qui est démontré dans le raisonnement de ton message, il me semble.