The collatz conjecture and the R.Crandal conjecture

[invite0cb5b664]

Bonjour à tous,

Je vous remercie de prendre le temps de me lire et de vous intéresser à mon travail et mon article sur ce sujet.
Je suis conscient que cette conjecture est une source constante de questions et c’est un problème qui revient souvent au devant dans les forums mathématiques et autres. En ce qui me concerne, j’ai découvert le problème de Syracuse au travers de la lecture du magazine « Pour la Science » sur les grands problèmes mathématiques avec une interview de Cédric VILLANI.

Cela fait maintenant plus de trois ans que je me suis lancé à l’assaut de ce problème et je pense que résoudre un problème c’est un peu comme escalader une montagne et trouver la bonne paroi et le bon chemin pour y arriver. En toute modestie, je pense que cette nouvelle approche est la bonne à la résolution de ces deux conjectures tellement les solutions ont été évidentes pour moi et c’est pourquoi j’aimerai publier aujourd’hui mon article.

Le synopsis de la démonstration tient au fait de ne pas attaquer le problème sous l’angle d’un arbre de Collatz mais comme une arborescence ou les nœuds sont des sous-ensembles de Syracuse. Avec la densité de Schnirelmann et un peu de théorie des graphes le problème s’éclaire tout d’un coup sous un nouveau jour.

A la lecture de mon article, je vous incite à regarder en premier les schémas en page 16,17 et 18 car je suis certain que cela permet de mieux comprendre par quel chemin attaquer le problème. J’espère que vous regarderez mon travail avec un œil bienveillant et afin de ne pas trop alourdir la démonstration, j’espère aussi que vous serez me pardonner certains écarts ou raccourcis.

J’espère que vous aurez du plaisir à lire et comprendre mon travail et je vous remercie déjà d’avance à l’intérêt que vous y apporterez et n’hésitez pas à me poser des questions pour obtenir des éclaircissements le cas échéant.
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[invite0d1b0d1b]

Bonjour,

C'est peut-être juste une question de notation mais à la fin de la page 3, tu définis la densité de Schnirelmann comme:

Or selon wikipédia, http://fr.wikipedia.org/wiki/Densit%...e_Schnirelmann, la définition est :

Ta définition semble correspondre à celle de densité asymptotique.
Or, il est n'est pas vrai pour la densité asymptotique que ou implique (conclusions (26) et (39) dans ton texte).

[Médiat]

Bonjour,

La première phrase de la page 7 fait bien penser qu'il s'agit de densité asymptotique et non de la densité de Schnirelmann.

[invite0cb5b664]

Bonjour,

Merci d'avance d'essayer de lire et comprendre mon travail.

Le passage de la conclusion (8),(9) à (10) est peut-être un peu brusque effectivement. Toutefois j’exprime le fait suivant pour (8)et(9).

a une densité asymptotique ) et a une densité asymptotique )car leur densité inférieure et supérieure coïncident, sont constantes et existent toujours.
Je peux donc appliquer la densité de Schnirelmann selon la définition tel qu'exprimée en (10) sur chaque degré de l'arborescence. C'est effectivement une question de notation.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Densit%...e_Schnirelmann
http://fr.wikipedia.org/wiki/Densit%C3%A9_asymptotique

J'ai aussi remarqué une petite faute de d'orthographe à la page 10 au point 2 avant les conclusions ou le terme "pas" est de trop dans la phrase.

Bien à vous

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93e0873f]

Bonjour,

C'est peut-être juste une question de notation mais à la fin de la page 3, tu définis la densité de Schnirelmann comme:

Or selon wikipédia, http://fr.wikipedia.org/wiki/Densit%...e_Schnirelmann, la définition est :

Ta définition semble correspondre à celle de densité asymptotique.
Or, il est n'est pas vrai pour la densité asymptotique que ou implique (conclusions (26) et (39) dans ton texte).

La première phrase de la page 7 fait bien penser qu'il s'agit de densité asymptotique et non de la densité de Schnirelmann.

Considérant ce que je décode comme étant les , les deux notions de densités pourraient coïncider.

(i) À mon sens, est l'ensemble suivant : s'il existe un entier tel que et précisément des fonctions appliquées itérativement sur sont des , les autres étant des . Autrement dit, dans la suite , il y a précisément nombres impairs. En fait, si est défini comme l'ensemble des nombres impairs compris dans , alors . En particulier, pour , nous avons pour tout .

(ii) Afin d'éviter certains problèmes avec les densités, il est possible qu'il faille modifier la définition des afin que 1 soit un élément de chacun d'eux (de sorte que la densité de Schnirelmann ne soit pas trivialement 0). En fait (mais ça ne me semble pas correspondre aux définitions données dans le document), nous pourrions définir comme l'ensemble des entiers n tels qu'il existe une suite avec au plus nombres impairs, de sorte que .

Avec ces définitions, il me semble que les se « raréfient dans les grands entiers » quelque chose comme en , tandis que les se « raréfient » en . Bref, les ont des densités de plus en plus faibles dans les grands entiers, de sorte que l'infimum ou la limite inférieure des rapports coïncident.

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Ceci étant dit, je ne vois pas en quoi les arguments de ce documents fonctionnent. Comme je l'ai indiqué plus haut, je pense que quel que soit . Dans ce cas, les rapports tendent vers 0 quand tend vers l'infini, non pas vers comme indiqué à l'équation (33). Cependant, j'ai probablement la mauvaise interprétation pour , puisque l'équation (20) indique autre chose...

Un autre aspect : j'interprète l'équation (7) comme indiquant que est défini par la réunion ensembliste des . Je ne comprends pas la somme qui intervient dans cette formule. Cependant, à l'équation (16), puis aux équations (22)-(26) et aux équations (35)-(39), nous voyons intervenir la somme directe (arithmétique) d'ensembles, ce qui n'est pas la réunion ensembliste (car produisant des éléments nouveaux). Or, le théorème de Schnirelmann utilisé fonctionne pour les sommes directes, pas la réunion.

Cette nuance est importante pour la raison suivante. Supposons que la conjecture de Collatz est fausse : soit N le plus petit entier (positif impair) tel que n'est jamais une puissance de 2. Puisque et sachant que et , nous avons bien que . Ainsi, n'implique pas la conjecture du Collatz.

Évidemment, toutes ces critiques reposent sur ce que j'ai réussi à décoder de ce document.

Cordialement.

[invite0cb5b664]

Bonjour,

Je vais essayer de mettre un peu d'huile dans mes explications et tenter de répondre à vos questions en éclaircissant certains points.

1) En premier lieu je définis un sous-ensemble de Syracuse selon la description du point (7) de mon article comme les éléments entiers tel que et k un nombre impair. Par définition la somme des

2) Je définis comme la somme de tous les éléments d'un degré et appartennant à comme au point (3) décrit dans mon article
Avec les éléments de la racine de l'arborescence
les éléments du degré 1 de l'arborescence
les éléments du degré 2 de l'arborescence
etc

3) Par définition, toutes les racines de chaque arborescence sont constituées du seul sous-ensemble de Syracuse
Nous avons donc
Les éléments de sont toutes les solutions à la fonction réciproque sur ou et multiplié par
Les éléments de sont toute les solutions à la fonction réciproque sur et multiplié par
etc

4) La densité de Schnirelmann est différente pour que pour les quand voir fonction (6) ou chaque degré est la conséquence de la composée de fonction du degré inférieur à l'exception de la racine (Donc oui est inclus dans quand . Ce sont des puissances fonctionnelles

http://fr.wikipedia.org/wiki/Composition_de_fonctions

Et la densité de Schnirelmann des racines de l'arborescence en fonction de q est donné par la liste OEIS A002326 et l'élément 1 fait effectivement partie de chaque degré (Point à discuter ultérieurement)

5) Commençons et prenons comme exemple l'arborescence définie par la fonction et essayons de vulgariser.
La racine de l'arborescence est = et tous les éléments de ce sous-ensemble sont solution à la fonction réciproque .
1 est solution pour 2
3 est solution pour 4
7 est solution pour 8
etc
La densité de Schnirelamnan pour est donc bien de 1

Donc est composé entre autre par les sous-ensemble de Syracuse ..etc (1 fait bien partie du degré 1 aussi)
Ensuite on répète le raisonnement sur etc et tous les éléments de sont aussi solution à la fonction réciproque . Donc est composé par les sous-ensembles de Syracuse ,...etc

La densité de Schnirelamnan pour est donc bien de 1 aussi

ainsi de suite et nous obtenons bien (26)

6) Prenons comme deuxième exemple l'arborescence définie par la fonction et essayons de vulgariser.
La racine de l'arborescence est et un élément sur deux de ce sous-ensemble est solution à la fonction réciproque .
1 est solution pour 4
5 est solution pour 16
21 est solution pour 64
etc
La densité de Schnirelamnan pour est donc bien de

Donc H1 est composé par les sous-ensemble de Syracuse S1,S5,S21..etc (1 fait bien partie du degré 1 aussi)
Ensuite on répète le raisonnement sur . Ici, de tous les sous-ensembles de Syracuse, sont multiple de 3, et ne peuvent donc pas être solution à la fonction réciproque. Des des sous-ensembles de Syracuse restant pour , seul sont solution à la fonction réciproque . Donc

La densité de Schnirelamnan pour est donc de

On applique le même raisonnement pour et on obtient car comme ce sont des fonctions composées

La densité de Schnirelamnan pour est donc

Ainsi de suite et nous obtenons bien (39)

7) Dernier point, je ne dis pas que est inclus dans ..je dis juste que si la somme des ou alors ou

Cordiallement et en éspérant avoir répondu à vos intérrogations.

[Médiat]

Bonjour,

Par définition la somme des

Vous voulez parler de la somme, de l'union, de l'union disjointe ?

[invite0d1b0d1b]

Bonjour,

la définition des m’échappe:
au point 3), il est dit :
Définition qui ne dépends pas de .
Or, aux points 5) et 6), tu calcules deux densités de Schnirelmann différentes pour des ensembles (que je comprends comme) égaux.
Par ailleurs, comme signalé par Universus, la densité de Schnirelmann de vaut .

[invite0cb5b664]

Bonsoir Médiat, Bonsoir Cipad,

1) Pour répondre à Médiat, je vous voudrais tout d’abord dire que c’est une très bonne question mais que l’utilisation des définitions à établir concernant les ensembles définit dans mon article sont effectivement un sujet intéressant, et j’avoue que je ne voudrais pas dire des affirmations sans me replonger dans mes brouillons qui sont conséquents et qui date de plusieurs mois maintenant.
En particulier pour la raison suivante.
Je n’applique pas la notion de densité de Schnirelmann à mais à des sous-ensembles de celui-ci c.-à-d. à des sous-ensembles composé par des ensembles . Et donc si alors le théorèmes de Schnirelmann reste vrai.
J’essayerai de répondre plus précisément plus tard sur votre question et ce sujet spécifiquement.

2) Pour répondre à Cipad, je vais faire un petit exercice de mise en évidence en reprenant ton premier post en reprenant ta référence à la densité de Schnirelmann sur Wikpedia
http://fr.wikipedia.org/wiki/Densit%...e_Schnirelmann

La définition de la densité de Schnirelmann est donc définit ainsi :



Petite question, quel est la densité de Schnirelamann sur des éléments qui sont uniquement solution dans sur laquelle on applique la fonction . Ce poser cette question revient à dire quelle est la densité de Schnirelmann des nombres pair ! L’intuition nous indique facilement que la réponse est
Mais pour connaître la réponse on applique évidemment la fonction sur et vous obtenez

En ce qui concerne je définis la densité de Schnirelmann ainsi :


Alors quel est la densité de Schnirelamann sur des éléments qui sont uniquement solution dans sur laquelle on applique la fonction

Alors pour connaître la réponse on applique évidemment la fonction sur et la densité est de
La réponse est aussi donnée par la liste OEIS A002326

En répondant à cette à ta question concernant la densité quand je pense répondre à tes autres interrogations quand q varie. C'est ce paramètre qui donne la forme de l'arborescence.

Pour résumer j’applique la densité de Schnirelmann sur sur des sous ensembles de et non pas à

3) J’aimerai corriger quels que points de mon post d’avant
- Je définis/parle des sous-ensemble de Syracuse au point (17) de mon article et pas (7)
- Et quand je dis que : « Des des sous-ensembles de Syracuse restant pour , seul sont solution à la fonction réciproque . », je voulais dire des des sous ensembles de Syracuse restant pour , seul des éléments sont solutions la fonction réciproque

Cordialement à vous

[Médiat]

Ce poser cette question revient à dire quelle est la densité de Schnirelmann des nombres pair ! L’intuition nous indique facilement que la réponse est
Mais pour connaître la réponse on applique évidemment la fonction sur et vous obtenez

Bonjour,

Pas de chance, l'intuition en mathématiques est perverse : la densité de Schnirelmann de l'ensemble des nombres pairs est 0.

Je me demande si votre argument n'est pas équivalent à dire : pour n assez grand impair, on le multiplie par 3 (en gros) puis on le divise par 2 dans un cas sur 2, par 4 dans un cas sur 4 etc. donc (en gros), on le divise par 3 (ce qui ne permet pas de conclure).

[invite0cb5b664]

Bonjour,

A vouloir répondre trop rapidement, on fait des erreurs ... effectivement.. mais cela ne change rien à la logique et la réponse que j'ai voulu donné à Cipad. J’aurai du dire alors par rapport à l'exemple donné: qui n'appartient pas à revenant à dire quelle est la densité de Schnirelmann des nombres impair ! et la densité est de

Et pour essayer de vous répondre, ce n'est pas un argument, je ne fais qu'appliquer la notion de Schnirelmann sur chaque degré avec l'équation (6)

Bien cordialement

[invite93e0873f]

Bonjour,

Je ne considère pas que vos précisions aient été particulièrement révélatrices : vous coupez court à quelques occasions et vos énoncés manquent souvent de précision mathématique (à tout le moins, vous ne suivez pas à la lettre diverses conventions répandues). La différence entre une somme et une réunion n'est pas anodine, la définition précise de vos densités ET des ensembles particuliers que vous étudiez non plus (puisque les densités sont très sensibles à de petites nuances dans les ensembles), etc.

J'apprécierais donc si vous pouviez nous indiquer si les ensembles suivants sont bel et bien ce que vous entendez par dans le cas particulier du problème de Collatz, c'est-à-dire lorsque (x impair). En notant comme vous le faîtes , avons-nous









etc. ?

Si oui, il s'agit précisément de la définition (i) que j'ai donnée (et, incidemment, Mère Mathématique fait en sorte qu'il s'agit aussi de la définition (ii) ).

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Au final, qu'importe les ensembles que vous considérez, en utilisant comme vous semblez le faire les théorèmes de Schnirelmann et , vous utilisez la somme directe d'ensembles . Ce faisant, en raison de l'argument présenté à la fin de mon précédent message, il est impossible de discerner les éventuels cycles non triviaux par ce genre d'arguments puisque ces cycles sont éventuellement inclus dans une somme directe que vous construisez.

[invite0cb5b664]

Bonjour Universus,

1.) J'attendais votre réponse et je suis content de pouvoir confronter mon article avec des personnes ayant une connaissance plus précises que moi dans certains domaines des mathématique. J'ai essayé de présenter mon raisonnement dans mon article de manière le plus près des diverses conventions, toutefois je vous demande d’excuser peut-être certaines tournures ou processus de résolutions qui n’ont peut-être pas toute la rigueur complète exigée vous demandant à vous un effort supplémentaire de compréhension et je vous remercie pour cela. Cela fait longtemps que j'ai quitté les bancs de l'université et j'ai oublié depuis, quelques notions et vouloir décrire la résolution de mon raisonnement rigoureusement aurait rendu l'article illisible ou trop long.

Je me rends compte qu'au travers de vos questions que mon article n'est pas aussi évident à comprendre et si mes précisions n'ont pas été particulièrement révélatrices pour vous c'est que de mon côté, je n'ai pas bien interprété votre question mais je vais mieux y répondre maintenant (enfin j'espère) et spécifiquement pour f(x)=3x+1 comme demandé.

2.) Donc si je comprends bien votre réponse et raisonnement en reprenant votre dernier paragraphe et vos termes, utiliser les ensembles tel que décrit dans mon article et spécifiquement de (33) à (39) en utilisant les théorèmes de Schnirelmann [...] qu'il est impossible de discerner les éventuels cycles non triviaux par ce genre d'arguments puisque ces cycles sont éventuellement inclus dans une somme directe que je construis.
Ma réponse est que vous avez tout à fait raison. Toutefois je ne dis pas cela dans mon article et je ne dis pas que si alors il n'existe pas de cycle ou de suite infini ou autre. (Petite parenthèse, c'est d'ailleurs effectivement le cas pour l'arborescence quand f(x)=3x-1 ou il existe 2 cycles)

3) Le raisonnement de l'article est ceci:
ll faut discerner la construction et la forme "physique" si je peux me permettre d'utiliser ce terme; de l'arborescence en fonction de f(x)=3x+1 selon la
théorie des graphes en appliquant la fonction selon (3) dans mon article et décrit ci-dessous à votre demande et de l'application de la notion de Schnirelmann sur chaque degré de l'arborescence définit en (8)(9)(10) au travers de la fonction (6).

Ceci considéré, il apparaît que:
a) Point 1) l'ensemble définit par l'arborescence (arbre recouvrant) (33) à (39)
b) Point 2) l'équation (18) montre que toutes les branches/nœuds de l'arborescence composée par les suites qui constitue chaque degré sont bien fondées (18)
c) Point 3) les équations de (57) à (62) démontre que l'arborescence crée entre toutes les relations entre et reliant chaque degré sont bien fondées (62) et qu'il n'existe qu'une seule boucle qui est incluse dans l'ensemble

Je dis donc que ces trois points suffisent à conclure/affirmer que la conjecture est vrai car selon les équations décrit par les point 2) & 3) il n'existe qu'une seule boucle qui est incluse dans l'ensemble et que l'arborescence recouvrant et décrit par le point 1)

4) Pour la construction de l'arborescence, nous appliquons la fonction tel que décrit en (3) dans mon article et je me permets de mettre en évidence au préalable pour être rigoureux que :
avec
Et que :
avec =

Tel que décrit en (5) on prend comme ensemble de départ et on applique
{1} * {1,2,4,8,...,2^n} = =
Avec l'ensemble des solutions à la fonction sur soit {1,5,21,85,...}*{1,2,4,8,...,2 ^n}= =
Avec l'ensemble des solution à la fonction sur soit {1,5,21,85,...,3,13,53,...,113 ,453,..}*{1,2,4,8,...,2^n}==
etc

Je pense aussi que cette méthode comme je le décris a la section3.1.2 page 12 de mon article permet la résolution d'attaquer la conjecture de R.Crandal.
Cordialement

[invite9dc7b526]

(...) vouloir décrire la résolution de mon raisonnement rigoureusement aurait rendu l'article illisible ou trop long.

ben non, c'est quand les choses ne sont pas rigoureuses qu'elles sont illisibles.

[Médiat]

Bonjour,

Je vous avoue que j'ai abandonné la lecture de votre document pour la raison décrite par minushabens ; pour vous donner un exemple, dès la page 2 :

Le problème posé est donc de savoir pour quelle paramètre de le domaine de définition suivant est vrai :
(2)

1. Je ne sais pas ce que veut dire l'expression "un domaine de définition est vrai ou faux"
2. est une fonction dans
3. On ne sait pas ce qu'est le qui apparaît ici

Et ce n'est que l'introduction !

[invite0cb5b664]

Bonjour Médiat,

Peut-être devrai-je tourner la question effectivement autrement dans mon article.

Car que signifie la conjecture de Syracuse. C'est de savoir si tous les éléments de finissent dans l'ensemble d'arrivée ou 2^n comme je l'ai écrit en appliquant

Alors effectivement je devrais peut-être écrire (car c'est ce que je souhaite exprimer) est-ce que pour toutes les arborescences définit a partir de finissent-elle sur ou pour quelles arborescences la définition suivante est vrai ci-dessous pour :



Si il faut indiquer cela autrement je suis preneur

Cordialement

[Médiat]

Je n'ai toujours pas l'intérêt de ce genre de vocabulaire et de notations (non explicitées !), alors qu'exprimer la conjecture de Syracuse est si simple :

[invite93e0873f]

Bonjour Magic2002,

1.) J'attendais votre réponse et je suis content de pouvoir confronter mon article avec des personnes ayant une connaissance plus précises que moi dans certains domaines des mathématique. J'ai essayé de présenter mon raisonnement dans mon article de manière le plus près des diverses conventions, toutefois je vous demande d’excuser peut-être certaines tournures ou processus de résolutions qui n’ont peut-être pas toute la rigueur complète exigée vous demandant à vous un effort supplémentaire de compréhension et je vous remercie pour cela. Cela fait longtemps que j'ai quitté les bancs de l'université et j'ai oublié depuis, quelques notions et vouloir décrire la résolution de mon raisonnement rigoureusement aurait rendu l'article illisible ou trop long.

Je me rends compte qu'au travers de vos questions que mon article n'est pas aussi évident à comprendre et si mes précisions n'ont pas été particulièrement révélatrices pour vous c'est que de mon côté, je n'ai pas bien interprété votre question mais je vais mieux y répondre maintenant (enfin j'espère) et spécifiquement pour f(x)=3x+1 comme demandé.

Je comprends votre situation. Personnellement, la lecture de votre article m'a forcé à m'informer des travaux de Schnirelmann auxquels je ne connaissais rien. De façon similaire, je ne connais pas les notions régulièrement utilisées en théorie des graphes. Je considère donc qu'une bonne partie de mon incompréhension de votre document tient à des manques de mon côté. Cependant, comme indiqué précédemment (et plus récemment) par les autres intervenants, vous employez plusieurs notions très centrales à tous les mathématiciens de façon inadéquate. Ce faisant, nous sommes tous sceptiques concernant la bonne maîtrise des notions que nous maîtrisons nous-mêmes moins bien. Vous devez prendre en compte cette réaction : quand bien même vous ne jugeriez plus pertinent d'entretenir ce fil de discussions et souhaiteriez poursuivre dans la publication de votre article, tout éditeur un tant soit peu spécialisé dans ces sujets aura le minimum d'exigence que vous rencontrez ici. Bref, vous prétendez avoir une preuve, donc vous avez le fardeau de la preuve : entre le lecteur et vous, de prime abord, c'est vous qui devez faire la plus grande partie du chemin. Cela nécessitera sans doute que vous preniez le temps de retravailler la présentation de votre document afin que les incompréhensions soulevées dans ce fil n'aient plus lieu d'être.

2.) [...]
Ma réponse est que vous avez tout à fait raison. Toutefois je ne dis pas cela dans mon article et je ne dis pas que si alors il n'existe pas de cycle ou de suite infini ou autre. (Petite parenthèse, c'est d'ailleurs effectivement le cas pour l'arborescence quand f(x)=3x-1 ou il existe 2 cycles)[...]
Je dis donc que ces trois points suffisent à conclure/affirmer que la conjecture est vrai car selon les équations décrit par les point 2) & 3) il n'existe qu'une seule boucle qui est incluse dans l'ensemble et que l'arborescence recouvrant et décrit par le point 1)

(Note au passage : je ne comprends pas l'écriture « » : je ne vois pas quelle fonction va de quelle arborescence vers les entiers naturels.)

Évidemment, il y a le cycle trivial. Or, la conjecture de Collatz vise à montrer qu'il n'y a pas d'autres cycles ou, plus généralement, de « vols dont l'altitude est bornée inférieurement par une constante > 1 ». Si vous développez une méthode qui ne « voit » pas ces contre-exemples à la conjecture alors même qu'ils pourraient exister, alors votre méthode échoue à démontrer la conjecture.

Vous confirmez ci-dessous que j'ai bien saisi quels sont vos ensembles . Nous notons en particulier que, pour tout , l'ensemble comprend l'ensemble des puissances de deux. Vous utilisez quelque part les théorèmes de Schnirelmann, qui eux sont formulés en terme de la somme directe « de Schnirelmann » . C'est bien connu que tous les nombres entiers admettent une décomposition binaire ; dans la terminologie de Schnirelmann, cela signifie que . Puisque nous avons certainement , nous en déduisons votre résultat : . Cette démonstration ne requiert aucun des théorèmes de Schnirelmann ni aucune notion de densité, mais uniquement une preuve de « tous les nombres entiers admettent une décomposition binaire ». En particulier, la définition précise des n'importe pas, seul compte le fait qu'ils contiennent tous les puissances de deux. Donc cet argument ne tient même pas compte explicitement de la conjecture de Collatz ; il en résulte que cette conjecture est soit « trivialement » vraie, soit pas du tout liée à cet argumentaire. J'opte pour la seconde possibilité.

4) Pour la construction de l'arborescence, nous appliquons la fonction tel que décrit en (3) dans mon article et je me permets de mettre en évidence au préalable pour être rigoureux que :
avec
Et que :
avec =

Tel que décrit en (5) on prend comme ensemble de départ et on applique
{1} * {1,2,4,8,...,2^n} = =
Avec l'ensemble des solutions à la fonction sur soit {1,5,21,85,...}*{1,2,4,8,...,2 ^n}= =
Avec l'ensemble des solution à la fonction sur soit {1,5,21,85,...,3,13,53,...,113 ,453,..}*{1,2,4,8,...,2^n}==
etc

Bref, il s'agit bien de ce que j'ai écrit dans mes messages précédents.