L’ensemble des croissants (petit pain)

[invitedf3b174e]

Bonjour

Soit un plan droit d’origine O, l’axe des ordonnés est décomposer en entiers relatifs Yi, l’axe des abscisses en entiers relatifs Xi

On prend un point sur l’axe des ordonnés Ya et un point sur l’axe des abscisses Xb.
On trace le segment Ya-Xb, puis on trace la médiatrice de ce segment. La médiatrice coupe l’axe des abscisses on un point Xc et l’axe des ordonnés en Yc.

Maintiennent on peut tracer deux cercles (supposons Xb supérieur à Ya), le grand cercle à pour centre Yc (négatif) et passe par Ya et Xb, l’autre petit cercle à pour centre Xc et passe lui aussi par Ya et Xb.

Le petit cercle à une partie commune avec le grand cercle et une partie à l’extérieur du grand cercle, elle a la forme d’un croissant (petit pain) .

Ce croissant à une surface que je nome S(a.b)

Soit maintenant l’ensemble de toute les surfaces S(i,j) pour tout les Yi et Xj.

Q1 : Est-ce que cet ensemble est infini ?

Q2 : Est-ce que les éléments de cet ensemble sont tous des algébriques, ou tous des transcendants ou un mélange des algébriques et transcendants ?

Q3 : Faire la même chose en remplaçant les nombres entiers par des nombre rationnels ?

Q4 : trouver un nombre qui n'appartient pas au dernier ensemble
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[phys4]

Bonjour,
Quelques éléments vers une démonstration

Soit maintenant l’ensemble de toute les surfaces S(i,j) pour tout les Yi et Xj.

Q1 : Est-ce que cet ensemble est infini ?

Je constate qu'en gardant Xb ou Ya fixe et en augmentant l'autre donnée, le croissant devient aussi grand que l'on veut, comme la surface peut donc tendre vers l'infini, l'ensemble est infini.

Q2 : Est-ce que les éléments de cet ensemble sont tous des algébriques, ou tous des transcendants ou un mélange des algébriques et transcendants ?

Il y a au moins un élément algébrique S(i,i) = 0, la plupart des autres sont irrationnels car ils incluent la mesure d'un arc.

Q3 : Faire la même chose en remplaçant les nombres entiers par des nombre rationnels ?
Q4 : trouver un nombre qui n'appartient pas au dernier ensemble

L'utilisation des rationnels permet d'avoir un nombre S aussi proche que l'on veut de tout nombre appartenant à l'intervalle [0, infini[
Alors où est le piège? je proposerais simplement -1

[invitedf3b174e]

Bonjour,
Quelques éléments vers une démonstration

Je constate qu'en gardant Xb ou Ya fixe et en augmentant l'autre donnée, le croissant devient aussi grand que l'on veut, comme la surface peut donc tendre vers l'infini, l'ensemble est infini.

Il y a au moins un élément algébrique S(i,i) = 0, la plupart des autres sont irrationnels car ils incluent la mesure d'un arc.

L'utilisation des rationnels permet d'avoir un nombre S aussi proche que l'on veut de tout nombre appartenant à l'intervalle [0, infini[
Alors où est le piège? je proposerais simplement -1

Bonjour
La réponse à la Q2 « la plupart des autres sont irrationnels car ils incluent la mesure d'un arc » n’est pas démontrée.

Le piège est dans la Q4 « trouver un nombre qui n'appartient pas au dernier ensemble » c.-à-d. l’ensemble des S(i,j) avec des Xi et Yj des rationnels.

Etant donné que l’ensemble des S(i,j) est dénombrable, alors d’ensemble réels n’appartenant pas à S(i,j) est infini, il faut en trouver au moins 1

[invitedf3b174e]

Bonjour

La question est, peut être, mal posée.

L’idée est de construire un ensemble ‘SS’ infini de réels à partir de l’ensemble des rationnels

Cet ensemble ‘SS’ est infini dénombrable, son complémentaire dans R est infini non dénombrable.

Le défi est de trouver un élément de l’ensemble complémentaire de ‘SS’

La construction de l’ensemble ‘SS’ est décrite ci-dessous


Soit un plan droit d’origine O, l’axe des ordonnés nommé Yi, l’axe des abscisses nommé Xi

On prend un nombre rationnel sur l’axe des ordonnés Ya et un nombre rationnel sur l’axe des abscisses Xb.

On trace le segment Ya-Xb, puis on trace la médiatrice de ce segment. La médiatrice coupe l’axe des abscisses on un point Xc et l’axe des ordonnés en Yc.

Maintiennent on peut tracer deux cercles (supposons Xb supérieur à Ya), le grand cercle à pour centre Yc (négatif) et passe par Ya et Xb, l’autre petit cercle à pour centre Xc et passe lui aussi par Ya et Xb.

Le petit cercle à une partie commune avec le grand cercle et une partie à l’extérieur du grand cercle, elle a la forme d’un croissant (petit pain) .

Ce croissant à une surface que je nome S(a.b)

L’ensemble ‘SS’ est l’ensemble de toute les surfaces S(i,j) pour tout les Yi et Xj.

Question : trouver un nombre qui n'appartient pas ‘SS’

[A voir en vidéo sur Futura]