Propriété universelle, ça sert à quoi?

[zaskzask]

Bonjour,

J'ai remarqué que dans plusieurs domaine des mathématiques (topologie, algèbre), on a des propriété universelles qui apparaissent sous forme de diagrammes. Pourquoi attachent t-on tellement d'importance à ces diagrammes? Il servent à quoi? Pouvez-vous me donner un exemple de leur utilité en algèbre?

Merci!
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[minushabens]

Tu veux sans-doute parler de ce qu'on appelle un "problème universel" ? : http://fr.wikipedia.org/wiki/Problème_universel

[Seirios]

Bonjour,

En exemple venant de la théorie des groupes : la propriété universelle des groupes libres.

Etant donné un ensemble , on peut définir le groupe libre comme l'unique groupe (à isomorphie près) vérifiant la propriété suivante : pour tout groupe et toute application , s'étend en un morphisme de groupes . (Tu peux écrire un joli diagramme commutatif à partir de cela, pour ma part je ne suis pas assez motivé pour le moment )

Cette propriété est à la base de la théorie des présentations de groupes. Si je me donne un groupe et une partie génératrice , alors je peux définir un morphisme , et en noter le noyau (la notation signifie que l'on prend le plus petit sous-groupe distingué contenant l'ensemble considéré). On dit alors que est une présentation de . Grossièrement, on voit comme le plus "petit" groupe engendré par et dans lequel les éléments de (les relations) sont triviaux. Autrement dit, cela veut dire que les éléments de peuvent se voir comme des mots écrits sur l'alphabet , et que deux mots représentent le même élément du groupe s'il est possible de passer de l'un à l'autre en utilisant les lois de la théorie des groupes et les relations .

Prenons un exemple simple : le groupe cyclique . Celui est engendré par un élément : 1. On peut donc définir un morphisme du groupe libre à un élément, qui se trouve être , dans , qui envoie 1 sur 1. Le noyau de ce morphisme est (qui est aussi ). Une présentation de est donc , que l'on note encore pour bien préciser le rôle des relations.

[invitecbade190]

Un objet est solution d'un problème universel s'il est le plus petit au sens des flèches représentant une classe d'isomorphisme de sorte que si : ( : classe d'isomorphismes représenté par l'objet ), alors avec : .
Il y'a une histoire de foncteur là dedans, mais je préfère ne pas l'évoquer ici pour ne pas compliquer les choses.
Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5357f325]

En fait, une solution d'un problème universelle est unique (à isomorphisme près). Par conséquent, la propriété universelle est assez forte pour caractériser l'objet à elle seule : il semble logique de ne travailler qu'avec elle, pour arriver plus vite au résultat et pour clarifier la situation.
Par exemple, si on prends le produit tensoriel (disons au dessus d'un anneau ), certains isomorphismes peuvent se montrer "à la main" (en reprenant la définition du produit tensoriel, etc...) ou alors en utilisant la propriété universelle du produit tensoriel. La deuxième approche est plus simple.

[invitecbade190]

Pour compléter ce que j'ai dit, et pour répondre à la question initiale, les mathématiciens à travers ce qu'ils appellent théorie des motifs cherchent à trouver une théorie cohomologique universelle , c'est à dire, solution d'un problème universel, celui de factoriser toute théorie cohomologique par cette cohomologie universelle . est la catégorie des variétés algébriques projectives non singulières, et est une catégorie dite catégorie des motifs, et est la catégorie des modules sur un anneau. Cette catégorie est appelé à être construire en termes de cycles algébriques sur la base d'un ensemble de conjectures appelés conjectures standards. Toute la théorie des motifs est à l'heure actuelle conjecturale, et on attend encore l'arrivée de quelqu'un qui pourra les établir. La conjecture de Hodge n'est qu'un élément précurseur de cette théorie qu'on cherche encore à établir, mais il s'avère que personne à l'heure actuelle n'a encore trouvé la solution à ce problème.
En bref, le foncteur ( flèche ) est la plus petite flèche qui factorise quelque soit .
Cordialement.

Edit : Je n'ai que quelques connaissances rudimentaires sur ce sujet très vaste, donc, je ne peux vous en parler plus, en attendant que quelqu'un plus meilleur que moi poursuit la tache.

Cordialement.

[invite47ecce17]

Bonjour,
Les propriétés universelles sont fondamentales parce qu'elles permettent de définir des objets et d'en montrer des propriétés fondamentales.
Pour bien comprendre le probleme il faut dire 2 mots sur le foncteur des points et sur le lemme de Yoneda.
Quand tu as une catégorie C, elle peut etre parfois compliquée à manipuler, et assez eloignée de la catégorie des ensembles à laquelle on est habitué. Y a néanmoins un moyen de se ramener de l'etude des objets de C à celle ensembles, c'est grace à ce qu'on appelle le foncteur des points.
Si tu as C un catgéorie et X un objet de celle ci, tu peux considérer Hom(.,X) le foncteur de C^op dans Ens. Le fait est que ce foncteur carratérise parfaitement l'objet X (à isomorphisme unique pres). Si tu te donnes un objet Y, il revient au meme de se donner une fleche de X dans Y, ou une transformation naturelle de (aka un morphisme de foncteurs) de Hom(.,X) dans Hom(.,Y) (où le foncteur en question est T->Hom(.,T) qui est covariant en T). Autrement dit il est equivalent d'etudier la catégorie C où une sous catégorie de la catégorie des foncteurs de C^op dans Ens. C'est le lemme de Yoneda.
Pourquoi ce truc s'appelle foncteur des points?
Pour le comprendre faut regarder (par exemple) la catégorie opposée à la catégorie des C-algèbres de types finis. Si tu prend A une C-algèbre de type fini disons, C[X1,...,Xn]/(f1,..,fd), alors un "point" de A à valeur dans T, c'est un element de Hom(T,A) soit un morphisme d'algèbre de A dans T, si T est un corps (voir edit), cela revient à choisir une solution de f1(x1,...,xn)=...=fd(x1,...,xn )=0 à coordonnées dans T. Ou encore un point de T^n qui verifie les equations qui definissent l'algèbre.

Donc definir et étudier un objet A c'est équivalent à etudier le foncteur Hom(.,A). Et parfois (et meme dans certains contextes souvent) on maitrise mieux le dernier que le premier, on peut tester plein de choses sur Hom(.,A) qui ne sont pas difficilement maniable sur A.

Bien sur si tu te donnes n'importe quel foncteur de C dans Foncteur(C^op, Ens), alors y a pas de raisons que ce soit un foncteur de la forme Hom(.,A) pour un certain A. Si c'est le cas on dit que le foncteur est représentable, et c'est souvent une des premières choses qu'on verifie quand on rencontre les propriétés universelles pour la premiere fois. Parfois ce probleme peut etre tres difficile.

Mais l'avantage de ce truc c'est que par exemple pour prouver que des objets sont canoniquement isomorphes il suffit de prouver qu'ils verifent la meme prop universelle, c'est à dire qu'ils ont le meme foncteur des points. Et comme on t'a dit plus haut, ca c'est souvent plus facile (par exemple pour montrer l'associativité du produit tensoriel etc...).

Edit: Une C-algèbre de type fini qui soit un corps... y en a pas des masses, y a C, et c'est tout

[invite5357f325]

J'ajoute juste un petit point à l'excellente réponse de MiPaMa : dans le cadre des schémas, l'approche du foncteur des points est expliqué dans l'excellent "Geometry of Schemes" et peut être une bonne motivation pour ce genre de question.

[invitecbade190]

Bonjour,
J'espère que je ne vais pas dire de bêtises car, je ne m’intéresse que très peu à la théorie de schémas.
MiPaMa s’intéresse à un cas très particulier où il considère comme un corps algébriquement clos alors que la théorie des schémas était conçu pour traiter particulièrement les corps non algébriquement clos, et les anneau de manière générale. Dans le cas de , on peut se contenter de se placer dans le cadre des variétés algébriques sans parler de schémas. Tous les points des variétés algébriques complexes sont fermés, par contre, il existe des schémas qui ne sont pas forcément des variétés algébriques, ce qui les distingue est que ces schémas contiennent des points non fermés. D'où l'inclusion stricte : avec un schéma en toute généralité. Si on est dans , alors, il y'a égalité, et tous les points de sont fermés.
J'espère que je n'ai pas dit de bétises, car comme j'ai dit, la théorie des schémas est la dernière des choses auxquelles je m’intéresse et aux quelles j'ai recours.
Cordialement.

[invite5357f325]

Bonjour,
je débute dans la théorie des schémas aussi mais je ne comprends pas d'où tu sors tes , surtout si le schéma est "quelconque" ?

[invitecbade190]

C'est la traduction par MiPaMa de son passage :

Pourquoi ce truc s'appelle foncteur des points?
Pour le comprendre faut regarder (par exemple) la catégorie opposée à la catégorie des C-algèbres de types finis. Si tu prend A une C-algèbre de type fini disons, C[X1,...,Xn]/(f1,..,fd), alors un "point" de A à valeur dans T, c'est un element de Hom(T,A) soit un morphisme d'algèbre de A dans T, si T est un corps (voir edit), cela revient à choisir une solution de f1(x1,...,xn)=...=fd(x1,...,xn )=0 à coordonnées dans T. Ou encore un point de T^n qui verifie les equations qui definissent l'algèbre.

est la même notation qui se trouve dans le cours de Antoine Ducros disponible sur le net. C'est mon meilleur cours que j'ai appris sur ce domaine car il est lucide et très détaillé.

[invite5357f325]

Ok mais si est quelconque comment associe tu de tels polynômes à ton schéma ? Il existe des schémas sans points fermés. (Mais par exemple si
est compact, il y a au moins un point fermé).

[azizovsky]

Salut, une petite question, est ce qu'un objet universel* d'une gatégorie vérifie une propriété universel? Merci d'avance.

* on dit qu'un objet A d'une gatégorie est un objet universel si pour tous objet B de l'ensemble Mor(A,B) contient exactement un élément. (de façon imagée: une flèche seulement relie un point A à tous autre point B )

[invitecbade190]

Je ne sais pas, je ne suis pas la bonne personne qui peut t'expliquer ça. Je n'ai pas assez confiance à ce que je dis.
Localement ressemble à , et , c'est à dire il est quasi compact toujours. il n'est pas forcément séparé, s'il est séparé, alors il est compact. Tout point est fermé si l'espace est séparé. Un exemple où tous les points sont fermés est le cas des variétés algébriques sur .
Je n'ai pas pris assez de temps pour méditer ça. Il se peut que ce que je dis n'est pas toujours vrai. J'espère que quelqu'un d'autres viendras t'expliquer mieux que moi ça. Je ne suis qu'un novice dans ce domaine.
Cordialement.

[invite5357f325]

Oui, A est appellé un objet initial de la catégorie. Par exemple, , le groupe trivial, est initial dans la catégorie des groupes . Il y a plus d'exemples sur : http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_universel
La propriété universelle, c'est celle que tu as dite : pour tout objet B, il existe une unique flèche de A vers B.

[invite5357f325]

Chentouf : il existe des schémas sans points fermés et donc non quasi-compacts. (Regarde sur google "scheme without closed points").

[invitecbade190]

Points fermés ou point non fermé n'est pas lié à la quasi compacité d'un espace mais à sa séparation il me semble. J'ai aussi dit que tout schémas est localement quasi compact. Enfin ce qui me semble. Je te suggère de lire en entier le cours d'Antoine Ducrot pour plus de précision. c'est ce cours là qui peut t'aider pas moi, parce qu'il est bien structuré et bien détaillé.
Cordialement.

[invite5357f325]

Sauf qu'ici on est dans le cas d'un schéma. S'il est quasi compact, on obtient un recouvrement fini par des ouverts affines et une récurrence permet de conclure qu'on a bien un point fermé.
Sinon merci pour le conseil du cours, il a effectivement l'air très complet !

[invitecbade190]

D'accord.
Bon, on s'est trop éloigné du sujet initial de ce fil.

[invite47ecce17]

Il se peut que ce que je dis n'est pas toujours vrai.

Oui "ca se peut".

[invitecbade190]

Si ça se peut c'est qu'il y'a une raison.
Explique.

[invitecbade190]

Bonjour,

Dans un message précédent, j'ai affirmé que toute variété algébrique complexe est compact, est ce que c'est vrai ? Je pense que c'est faux. Pouvez me corriger svp, et m'expliquer pourquoi c'est faux ?
J'ai l'habitude de ne travailler que dans des variétés algébriques projectives complexes non singulières qui sont donc compacts. Je ne sais pas ce qui se passe en dehors de ce cadre là.

Merci d'avance.

[minushabens]

effacé (ne répondait pas à la question posée)

[Universus]

Chentouf : j'imagine que cela dépend de ce que vous entendez par « variété algébrique ». La première définition que j'ai jamais vue de cette notion est celle de « variété (algébrique) affine », c'est-à-dire le lieu d'annulation de polynômes , qui donne lieu à plusieurs exemples non compacts. Les variétés affines sont des variétés complexes, à tout le moins si elles sont non singulières, et les inclusions canoniques dans sont alors des applications holomorphes. Essentiellement en raison du principe du maximum, une application holomorphe d'un compact vers un ne peut être que la fonction constante ; or, les variétés affines ne sont pas toutes des points.

Exemples concrets :

- comme lieu d'annulation de ;

- les sous-espaces vectoriels comme lieux d'annulations de plusieurs fonctions linéaires.

[invitecbade190]

Oui, merci Universus.

[invitecbade190]

Voici l'erreur que j'ai fait, donc, comme j'ai dit, une variété algébrique complexe est localement quasi compact tels que tous ses points sont fermés, mais cela ne signifie pas qu'elle est séparé, pour qu'elle soit séparé, il faut que la diagonale du produit de deux de ces copies qui soit fermé et non tous ses points. Moi, j'ai eu cette confusion sans m'en rendre compte.
Je m'excuse.
Cela explique pourquoi toute variété algébrique non complexe n'est pas forcément compact.

[Universus]

Voici l'erreur que j'ai fait, donc, comme j'ai dit, une variété algébrique complexe est localement quasi compact tels que tous ses points sont fermés, mais cela ne signifie pas qu'elle est séparé, pour qu'elle soit séparé, il faut que la diagonale du produit de deux de ces copies qui soit fermé et non tous ses points. Moi, j'ai eu cette confusion sans m'en rendre compte.
Je m'excuse.
Cela explique pourquoi toute variété algébrique non complexe n'est pas forcément compact.

Mon précédent message ne répondait pas à la question telle qu'il fallait l'interpréter dans le contexte de ce fil. J'ai pensé aux variétés affines comme à des variétés topologiques complexes (dotées de la topologie « usuelle ») et non pas comme espaces dotés de la topologie de Zariski.

Dans le cas des (sous-)variétés affines et des (sous-)variétés projectives, il est assez clair qu'elles sont toutes quasi-compactes pour la topologie de Zariski induite par l'espace ambiant. Puisque la topologie de Zariski sur l'espace affine (que ce soit en géométrie algébrique réelle ou que ce soit en géométrie algébrique complexe) est la topologie cofinie, elle n'est certainement pas Hausdorff. Donc, en général, les variétés affines et projectives ne sont pas compactes.

C'est un peu le contraire du cas où la topologie est induite par la topologie « usuelle » (celle de variété topologique) de l'espace ambiant. Dans ce cas, tout est Hausdorff, mais pas tout est quasi-compact. Donc, en général, les variétés sous-variétés analytiques complexes ne sont pas compactes, mais pour des raisons opposées.

[invite5357f325]

Il faut préciser la topologie bien sûr. Pour la topologie de Zariski, c'est trivial que toute les variétés sont quasi-compact. En fait il y a même une condition plus forte que les variétés algébriques vérifient pour la topologie de Zariski, ce sont des espaces topologiques noethérien.

Rappel : Un espace X est dit quasi-compact si pour toute famille de fermée avec la propriété de la PIF (propriété d'intersection finie, cf wiki) ait une intersection non-vide. (cette définition est facilement équivalente à la définition usuelle avec les recouvrements). Un sous-espace d'un quasi-compact n'est pas quasi-compact (pour la topologie induite bien sûr) : on peut prendre .

Un espace noethérien est un espace topologique tel que toute suite de fermée stationne, autrement dit si pour toute chaîne il existe un rang N tel que . Et ici on a la propriété très forte : tout SOUS-ENSEMBLE d'un espace topologique noethérien est noethérien. Et comme un espace topologique noethérien est évidemment quasi-compact, ça montre que tout sous-ensemble de est quasi-compact avec respect pour la topologie de Zariski.

Maintenant on peut très bien décider de mettre la topologie standard sur les variétés algébriques. Alors elles seront en général pas quasi-compact, à moins de les rendre projectives. (De regarder l'adhérence de la variété dans ), et c'est ce que t'expliquait Universus dans son premier message.

[invite47ecce17]

Bon je vais quand meme répondre.
Déja la séparation au sens algébrique, ca n'est pas la séparation au sens topologique. Des variétés algébriques contiennent toujours des points non fermés, sauf si elles sont de dimension 0. En tout cas si on prend la définition usuelle de variété algébrique (schéma intègre, séparé, de type fini sur un corps). Maintenant on peut choisir d'appeler variété algébrique le sous espace de celle ci, consititué des points fermés. Si on est sur un corps algébriquement clos, cette définition est équivalente à la première en un certain sens.

Les variétés algébriques sont toujours quasi compactes, car comme signalé plus hauts elles sont noetheriennes. Elles ne sont jamais séparés au sens Hausdorff (sauf si elles sont de dimension 0 là encore), mais elles sont séparés au sens algébrique i.e l'immersion diagonnale est fermée, la difference avec la définition topologique c'est que la topologie sur le produit XxX n'est pas la topologie produit (sinon les deux definitions seraient equivalentes) mais la topologie de Zariski. Elles ne sont donc jamais compactes (là encore si elles sont de dimension >0), pour des raisons de terminologie francaise. Par contre elles peuvent etre propre (sur le corps de base), les variétés projectives sont propres par exemple (essentiellement parce que P^n l'est et que les immersions fermées sont stables par changement de base), les affine ne le sont pas (en dimension >0); sur C, une variété est propre ssi ses points complexes muni de la topologie analytique forment un espace compact.

Enfin quand au "P_j" qui apparaissent au message 9, non ils n'ont aucune raison d'exister en general (ne serait ce que parce qu'il existe des variétés qui ne sont pas quasi-projectives en dimension >2).

[invitecbade190]

Bonjour,

Mon cerveau est plein de confusion. Pouvez vous m'expliquer qu'est ce qui distingue une variété algébrique d'un schémas ? Pourquoi une variété algébrique peut avoir des points non fermés ?

Merci d'avance.