Proba tirage de dés

[Minialoe67]

Bonjour

J'ai un exo de proba que je n'arrive pas à résoudre.
On a 4 dés, dont 2 pipés (p(6)=1/2, p(1) = p(2) = ... = p(5) = 1/10 )
On tire 2 dés au hasard et on les lance, la somme vaut 11.
Quelle est la proba de tirer:
- (A) les 2 dés pipés? Réponse: p(A)=9/50
- (B) les 2 autres dés? Réponse: p(B)=1/10

Je pense que pour obtenir 11, il faut tirer soit 5 puis 6, soit l'inverse: A²₂ * p(5) * p(6)
Pour tirer 2 dés parmi 4 c'est C²₄
Mais je ne sais pas comment arranger tout cela pour trouver les réponses...

merci de votre aide
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[minushabens]

Il faut utiliser les probabilités conditionnelles et le théorème de Bayes ici. Tu cherches la probabilité que les dés soient pipés sachant que le tirage est 11 et tu connais la probabilité que le tirage soit 11 sachant qu'il y a 0,1 ou 2 dés pipés.

[invite82078308]

Il faut faire un peu de modélisation.

"On prend deux dés au hasard" : cela te donne les probabilités des configurations possibles des dés.
"on lance les dés" Pour chaque cas, les hypothèses sur les dés te donnent des probabilités conditionnelles (selon la configuration des dés) des résultats des lancers puis des sommes obtenues.
On peut en déduire une probabilité sur les couples ( configuration, somme).
Et en déduire une probabilité conditionnelle sur les configurations connaissant la somme obtenue.

Reste à faire cela sans se lancer dans des calculs trop complexes. (Il doit y avoir moyen de ne pas calculer les probabilités de tous les résultats possibles).

[invite82078308]

Oui, en fait il y a une formule had-hoc dans le théorème de Bayes, mais si tu n'est pas censé la connaitre, ou si tu veux la comprendre, il faut passer par le raisonnement précédent.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Minialoe67]

Merci de votre aide. J'ai suivi vos explications mais j'ai quand meme encore un problème...

Prendre 2 dés au hasard: C²₄

P: dé pipé
E : dé équilibre

P({P,E})=(C¹₂)²/C²₄=2/3
P({P,P})=P({E,E})= C²₂/C²₄ = 1/6

On cherche donc P({P,P}/11) = P({11/{P,P})P({P,P}) / [ P({11/{P,P})P({P,P}) + P({11/{P,E})P({P,E}) + P({11/{E,E})P({E,E}) ]
d'après la loi de Bayes.

Mais comment calculer P({11/{P,P}) ? je ne sais vraiment pas...

[gg0]

Tu ne vois pas comment calculer la probabilité d'obtenir 11 en lançant les deux dés pipés ?
Univers ? Loi de probabilité ? calcul !
Ou bien décomposition en événements incompatibles de probas faciles à calculer.

Cordialement.

NB : pour éviter les erreurs, il aurait été plus sage de traiter les couples de dés plutôt que les ensembles de 2 dés. Il es 2 fois plus probable d'avoir un seul dé pipé que 2.

[Minialoe67]

P({11/{P,P}) = P({11 ⋂ {P,P}) / P({P,P}) = p(5)*p(6)*2 / (1/6) = 2*(1/6)² /(1/6) = 1/3 ???

[gg0]

Avec 2 dés pipés, on a deux possibilités pour obtenir 11 : 5, puis 6, proba 1/10*1/2 ou 6, puis 5, proba 1/2*1/10. proba totale 1/10.

Tu pensais vraiment qu'on obtient 11 une fois sur 3 ??

Cordialement.

[Minialoe67]

Ah oui en effet, je mélange tout.
J'avais fait le calcul pour des dés équilibrés...

pourquoi on ne re-divise pas par P({P,P}) ? =>
P({11/{P,P}) = P({11 ⋂ {P,P}) / P({P,P}) = p(5)*p(6)*2 / (1/6) = 2*(1/10)*(1/2) /(1/6) ?
La formule en rose est fausse?

[gg0]

Le calcul 1/2*1/10 n'a de sens que sachant que ce sont des dés pipés. Donc on a bien calculé les probas conditionnelles. La formule que tu utilises manipule des probas simples, qu'on aurait bien du mal à définir directement. Et la proba de 11 inter PP n'est pas 1/2*1/10*2 : D'où le saurais-tu ? De plus la proba de (P,P) n'est pas 1/6.

[Minialoe67]

C'est bon J'ai réussi à trouver les bons résultats.

Par contre, pourquoi P( 11/ {E,P} ) est égal à 1/2 * 1/ 6 + 1/10 * 1/6 (6 sur dé pipé* 5 sur dé non pipé + 5 sur dé pipé * 6 sur dé non pipé) et non pas 2 * ( 1/2 * 1/ 6 + 1/10 * 1/6 ) ? (car il n'y a pas d'ordre?)

[gg0]

Effectivement, il n'y a pas d'ordre simplement parce qu'il y en a un préalable, celui que tu as pris : Pipé puis non pipé. On vérifie bien qu'en changeant l'ordre imposé (en passant à non pipé puis pipé) on a le même résultat.
Par contre, il faut bien voir que P({E,P})=1/2 alors que P({E,E})=P({P,P)}=1/4.

Voila pourquoi j'aurais utilisé une autre modélisation, en mettant un ordre sur les dés au lancement. Les événements de base auraient alors été (E,E),(P,E),(E,P) et (P,P). De cette façon il est facile de voir que P(11/(E,P))=1/6*1/10+1/2*1/6 et P(11/(P,E))= 1/2 * 1/ 6 + 1/10 * 1/6 = P(11/(E,P)). Il n'y a plus 3 termes dans la formule de Bayes, mais 4.

Cordialement.

[Minialoe67]

Par contre, il faut bien voir que P({E,P})=1/2 alors que P({E,E})=P({P,P)}=1/4.

Euh?
P({P,E})=(C¹₂)²/C²₄=2/3
P({P,P})=P({E,E})= C²₂/C²₄ = 1/6

[gg0]

Effectivement,

j'ai raté une marche : Les choix de tirages ne sont pas indépendants . Mon message #12 est en grande partie faux. mais le début est toujours correct :
" il n'y a pas d'ordre simplement parce qu'il y en a un préalable, celui que tu as pris : Pipé puis non pipé. On vérifie bien qu'en changeant l'ordre imposé (en passant à non pipé puis pipé) on a le même résultat."

Cordialement.