Distance vecteur plan

[invitea7f063b2]

bonjour,
je vous explique mon problème.
je veux calculer la distance entre un vecteur A=(2,7,-1) et un plan Vect(B,C) où B=(1,2,-2) et C=(1,1,0)
pour cela j'ai posé que la distance vaut
det(B,C,A)/norme du produit vectoriel entre B et C
pour calculer det(B,C,A) j'ai utiliser le fait que c'est égal à (produit vectoriel entre B et C).A
je trouve avec cette méthode pour la distance 11/9
seulement je trouve dans la correction que la longeur doit être égale à 3 pouvez vous me dire ce qui cloche ?
merci
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[invited8dd7571]

Bonjour,

Je trouve aussi 3... Vérifiez vos calculs ; le produit vectoriel de B et C donne (2, -2, -1).

PS : dans votre formule, il faut ajouter des valeurs absolues autour du déterminant, la distance est toujours positive...

[invited3a27037]

bonjour
C'est quoi la distance entre un vecteur et un plan vectoriel ?
Et d'où sort cette formule qui ressemble à la distance entre 2 droites d'un espace affine de dim 3?
merci

[invitea7f063b2]

pardon j'avais fait une erreur de calcul...
toutes mes excuses j'avais pourtant refait le calcul plusieurs fois mais j'étais toujours tombée dans le même piège

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited8dd7571]

bonjour
C'est quoi la distance entre un vecteur et un plan vectoriel ?
Et d'où sort cette formule qui ressemble à la distance entre 2 droites d'un espace affine de dim 3?
merci

Bonjour,

Si E est un espace euclidien, F un sous-espace de E et x un vecteur de E, la distance de x à F est définie comme :
.
On montre que l'inf est atteint en un vecteur de F qui est la projection de x sur F ; la distance vaut donc . Si F est un hyperplan, on montre facilement qu'il suffit d'avoir un vecteur unitaire e normal à l'hyperplan ; la distance s'exprime alors simplement .
En dimension 3, un vecteur normal est donné par le produit vectoriel... d'où la formule avancée par january.

[invited3a27037]

@Neluge: merci

Pour compléter:

e = vecteur normal unitaire au plan vect = 1/|B^C| * B^C
A.e = 1/|B^C| * A.(B^C) = 1/|B^C| * [A,B,C] = 1/|B^C| * det(A,B,C)
où [A,B,C] désigne le produit mixte