Isométries en dimension n

[invite50ab1a1f]

Bonjour,
Quelqu'un pourrait t'il m'expliquer comment fonctionne la classification des isométrie sur en dimension n ? je sais le faire en dimension 2 et 3 mais pas plus haut.
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[invite50ab1a1f]

Par exemple la je travaille sur un exercice,
un vecteur u=(a,b,c,d) de R4
f un endomorphisme de matrice:
-a b c d
b a -d c
c d a -b
d -c b a
llull=1
lal différent de 0
E=vect{c1,f(c1)}
j'ai prouvé que f est une isométrie
ensuite j'ai prouvé que E est stable par f
sur E on a f^2=Id
donc la j'en conclut que f sur E est une symétrie plane il me semble
ensuite dans la correction je lis que c'est une symétrie négative..
mais pourquoi est ce une isométrie négative ? qu'est ce qui caractérise une isométrie négative ?
merciii

[invite93e0873f]

Bonjour,

Bonjour,
Quelqu'un pourrait t'il m'expliquer comment fonctionne la classification des isométrie sur en dimension n ? je sais le faire en dimension 2 et 3 mais pas plus haut.

Considérons le produit scalaire usuel sur , soit celui correspondant à la matrice identité pour la base canonique de . Si est une matrice orthogonale, c'est-à-dire vérifiant , et si est un vecteur fixé, alors la transformation affine est une isométrie de muni du produit scalaire usuel. Le théorème de Mazur-Ulam implique en particulier que toutes les isométries de sont de la forme que nous venons d'énoncer. Cela termine la classification.

Par exemple la je travaille sur un exercice,
un vecteur u=(a,b,c,d) de R4
f un endomorphisme de matrice:
-a b c d
b a -d c
c d a -b
d -c b a
llull=1
lal différent de 0
E=vect{c1,f(c1)}
j'ai prouvé que f est une isométrie
ensuite j'ai prouvé que E est stable par f
sur E on a f^2=Id
donc la j'en conclut que f sur E est une symétrie plane il me semble
ensuite dans la correction je lis que c'est une symétrie négative..
mais pourquoi est ce une isométrie négative ? qu'est ce qui caractérise une isométrie négative ?
merciii

Ici, la transformation est de la forme avec et . Ainsi, afin de déterminer si est une isométrie, il faut et il suffit de vérifier si ; nous calculons que , ce sorte que f est une isométrie précisément lorsque .

Pour le reste de votre question, je ne peux vous aider sans savoir ce qu'est « c1 ». Est-ce le vecteur ? Si oui, nous avons bien et .

Dans ce cas, l'isométrie f se restreint à une isométrie donnée dans la base de par la matrice . C'est (évidemment) aussi une matrice orthogonale, mais nous remarquons que son déterminant est négatif. En trouvant les vecteurs propres de , nous voyons que est une réflexion, une symétrie miroir.

[invite50ab1a1f]

Tout d'abord un grand merci pour votre réponse et pour votre aide.
j'ai oublié de vous préciser deux choses:
-la matrice de f que je vous ai donnée est la matrice de la base canonique
-et C1 est le premier vecteur de la base canonique soit (1,0,0,0)
dont comme f est dans la base canonique nécéssairement f(C1) est la première colonne de f soit -a,b,c,d
excusez moi pour cet oubli.

mais admettions que l'on parte de ce que vous avez fait après tout peu importe.
Donc j'arrive à vous suivre jusqu'au troisième paragraphe. On a f(c1) et f^2(c1)
Mais comment trouve t'on la matrice de la restriction de f à E pour quoi est ce :
0 1
1 0
parce que si on calcule l'image des vecteur de la Base E on trouvedes vecteur de 4 composantes dont je ne vois pas comment on se retrouve avec une matrice 2x2...
mercii

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93e0873f]

Bonjour,

Dans le cas actuel, il importe effectivement peu si ou si : les deux cas donnent lieu au même espace E. Je poursuivrai cependant avec la notation que j'ai utilisée dans mon précédent message.

L'espace E consiste en l'ensemble des vecteurs de la forme avec . En gardant les vecteurs et implicitement à l'esprit, l'information donnée par la connaissance de et de est la même que celle donnée par la connaissance du vecteur ; en fait, . Cela suggère d'identifier à et à ; dans ce cas, l'isométrie est représentée dans la base par la matrice que j'ai donnée dans mon précédent message :