Isométries

[dalfred]

Bonsoir,

Je ne comprends pas certaines choses dans mon cours, et je viens pour obtenir des explications :

Il est écrit : " Les isométries linéaires vérifient les propriétés suivantes : -elles préservent le produit scalaire :f(u)f(v)=u.v
-f transforme toute base orthonormée (b.o.n) en une autre b.o.n
-Inversement: tte application transformant tte b.o.n en une autre b.o.n est une isométrie
-Tte isométrie est une bijection
-L'ensemble des iso. forme un sous groupe de (GL : groupe linéaire de...)


Déjà je voudrais que quelqu'un m'écrive la démonstration de la première propriété ou me dise de quelle formule je dois partir.
Aussi je n'ai pas compris comment montrer la propriété trois, et pour finir surtout la dernière je ne vois pas ce que ca signifie.

Merci, adios la compagnie.
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[invite76543456789]

Salut!
Pour le 1. utilise l'identité de polarisation.
Pour le 3. c'est un petit calcul direct.
Pour le 5 sais tu ce qu'est un sous groupe?

[dalfred]

Pour le sous-groupe : Certains de mes souvenirs d'algèbre sont enterrés, donc la réponse est négative
Et pour la propriété trois, soit le "petit calcul direct", que dois-je faire :

Prendre deux b.o.n : et
Puis poser et faire (mais ensuite la question se pose, ????)

[invite76543456789]

Montrer que c'est une isométrie, c'est a dire calculer la norme de f(X).
Pour la notion de sous groupe, il va falloir que tu relises la definition. (c'est un sous ensemble qui soit une groupe pour la structure induite).

[A voir en vidéo sur Futura]

[dalfred]

Même en relisant la définition abstraite d'un sous groupe je vois pas le rapport avec une isométrie, dans mon cours j'avais noté de façon crédule (crédule est discréditant pour moi mais pas
tant: Diderot : L'incrédulité est quelquefois le vice d'un sot, et la crédulité la défaut d'un homme d'esprit) :

Il suffit de vérifier que f est une isométrie.
Puis montrer que f o g est une isométrie si f et g sont deux isométrie linéaires.

Je me contenterai de ça sans savoir pourquoi.

Ensuite pour répondre à votre première phrase, la norme de f est égale à la norme de X, et c'est fini.

[invite76543456789]

Le rapport avec une isométrie, c'est que si l'on compose deux isométries alors on obtient une isométrie et que l'inverse d'une isométrie est une isométrie (vois tu pourquoi? et pourquoi une isométrie est inversible?). C'est ce qu'on appelle etre un sous groupe de GL.

[dalfred]

Non je ne vois pas certaines de vos remarques.
Arrêtons nous là.

Pour le prouver , et faire plus simple je me dis juste est bijective donc elle a une réciproque donc on aura puisque est linéaire (même si je suis pas sur que la bijectivité implique cela), et basta (c'est rapide et ca encombre pas la memoire)

[toothpick-charlie]

pour montrer qu'une isométrie est un isomorphisme, le plus simple est de montrer qu'elle est injective (ce qui est trivial) et ensuite on sait qu'en dimension finie une application linéaire injective est nécessairement surjective.