Isométries

[invitee53284f6]

Salut à tous, un petit exo qui me pose problème

On a a R+* et b R
On note f.a,b l'application de E dans E qui au point M de coordonnées (x,y,z) associe le point M' de coordonnées (x',y',z'), où :

x' = ax + az + 2(1-)
y' = by
z' = -ax + az -2

(1) On note A = {f.a,b |a R+* , b R }. Montrer que A contient deux isométries f1 et f2 où f1 est un déplacement et f2 un anti-déplacement.
(2) Determiner les points invariants par ces 2 isométries. En deduire que f1 est une rotation affine et en donner les caractéristiques
(3) Soit 1 et 2 les applications linéaires associées à f1 et f2. Caractériser l'endomorphisme o2
Decomposer f2 en produit d'une reflexion affine et d'une rotation dont l'axe est orthogonal au plan de la réflexioin


et ce que j'ai fait pour l'instant :

(1) Je trouve que le déterminant de la matrice associée à l'application f.a,b est égal à 2a²b. Donc je dis qu'il existe a R+* et b R tels que 2a²b = 1 ou -1. Donc A contient en particulier un déplacement f1 et un anti-déplacement f2.

(2) Bon là j'ai du mal, le système ne se simplifie pas du tout...
Je me retrouve avec :
x + z - 2az + 2 = 0
y - by = 0
z - 2a(z + az - ) + 2 = 0

En raisonnant à l'envers, je dis que si f1 est une rotation affine alors la matrice appartient à SO(3), ce qui implique b=1 et a= /2 (en écrivant que le produit vectoriel des 2 premieres colonnes est égal à la 3eme, et que les vecteurs sont unitaires). Mais déja je suis pas sur de mon coup, et puis faut le déduire de ce qu'il y a avant...

(3) Je dois avoir besoin de la question précédente

Toute indication sera bonne à prendre, merci d'avance
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[invite57a1e779]

Bonjour,

(1) Je trouve que le déterminant de la matrice associée à l'application f.a,b est égal à 2a2b. Donc je dis qu'il existe a R+* et b R tels que 2a2b = 1 ou -1. Donc A contient en particulier un déplacement f1 et un anti-déplacement f2.

Le fait que le déterminant de la matrice soit est nécessaire mais non suffisant, et loin s'en faut, pour que soit une isométrie.

[invitee53284f6]

Ah effectivement, merci. J'avais fait une fixation sur le déterminant de la matrice...
En calculant la distance entre les points M1 (0,0,0) et M2 (-1,0,-1), et en disant qu'elle est égale à dist(M'1, M'2), je trouve a = /2
et avec l'histoire du déterminant ça me donne b = 1 pour le déplacement et b = -1 pour l'anti-déplacement. Je suis bien parti?

Je vais continuer avec ces valeurs et voir ce que j'arrive à faire avec

[invite57a1e779]

En calculant la distance entre les points M1 (0,0,0) et M2 (-1,0,-1), et en disant qu'elle est égale à dist(M'1, M'2), je trouve a = /2
et avec l'histoire du déterminant ça me donne b = 1 pour le déplacement et b = -1 pour l'anti-déplacement. Je suis bien parti?

C'est effectivement une possibilité.

Sinon, il y a un vieux théorème qui dit que, dans un repère orthonormé, l'application est une isométrie si, et seulement si, sa matrice satisfait , étant la matrice transposée de et la matrice unité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee53284f6]

C'est effectivement une possibilité.

Sinon, il y a un vieux théorème qui dit que, dans un repère orthonormé, l'application est une isométrie si, et seulement si, sa matrice satisfait , étant la matrice transposée de et la matrice unité.

Ce qui est le cas

J'ai un peu avancé :

(2) Je trouve une rotation d'angle Pi/4 par rapport à la droite d'équation x + (1 - /2)z + 2 = 0

(3) J'ai o2 : (x,y,z) -> (x,-y,z)
Par contre je vois pas comment faire pour décomposer f2 en produit d'une réflexion affine et d'une rotation dont l'axe est orthogonal au plan de la réflexion, sachant que je trouve que les points invariants forment une droite et non un plan...

[invite57a1e779]

(2) Je trouve une rotation d'angle Pi/4 par rapport à la droite d'équation x + (1 - /2)z + 2 = 0

Voici une droite qui se trouve être un plan...

(3) J'ai o2 : (x,y,z) -> (x,-y,z)
Par contre je vois pas comment faire pour décomposer f2 en produit d'une réflexion affine et d'une rotation dont l'axe est orthogonal au plan de la réflexion, sachant que je trouve que les points invariants forment une droite et non un plan...

est facile à caractériser...
Il faudrait déterminer les points invariants de , cela permettrait de ramener le problème affine à un problème vectoriel.