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Isométries



  1. #1
    pakm

    Isométries


    ------

    Salut à tous, un petit exo qui me pose problème

    On a a R+* et b R
    On note f.a,b l'application de E dans E qui au point M de coordonnées (x,y,z) associe le point M' de coordonnées (x',y',z'), où :

    x' = ax + az + 2(1-)
    y' = by
    z' = -ax + az -2

    (1) On note A = {f.a,b |a R+* , b R }. Montrer que A contient deux isométries f1 et f2 où f1 est un déplacement et f2 un anti-déplacement.
    (2) Determiner les points invariants par ces 2 isométries. En deduire que f1 est une rotation affine et en donner les caractéristiques
    (3) Soit 1 et 2 les applications linéaires associées à f1 et f2. Caractériser l'endomorphisme o2
    Decomposer f2 en produit d'une reflexion affine et d'une rotation dont l'axe est orthogonal au plan de la réflexioin


    et ce que j'ai fait pour l'instant :

    (1) Je trouve que le déterminant de la matrice associée à l'application f.a,b est égal à 2a²b. Donc je dis qu'il existe a R+* et b R tels que 2a²b = 1 ou -1. Donc A contient en particulier un déplacement f1 et un anti-déplacement f2.

    (2) Bon là j'ai du mal, le système ne se simplifie pas du tout...
    Je me retrouve avec :
    x + z - 2az + 2 = 0
    y - by = 0
    z - 2a(z + az - ) + 2 = 0

    En raisonnant à l'envers, je dis que si f1 est une rotation affine alors la matrice appartient à SO(3), ce qui implique b=1 et a= /2 (en écrivant que le produit vectoriel des 2 premieres colonnes est égal à la 3eme, et que les vecteurs sont unitaires). Mais déja je suis pas sur de mon coup, et puis faut le déduire de ce qu'il y a avant...

    (3) Je dois avoir besoin de la question précédente

    Toute indication sera bonne à prendre, merci d'avance

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    God's Breath

    Re : Isométries

    Bonjour,
    Citation Envoyé par pakm Voir le message
    (1) Je trouve que le déterminant de la matrice associée à l'application f.a,b est égal à 2a2b. Donc je dis qu'il existe a R+* et b R tels que 2a2b = 1 ou -1. Donc A contient en particulier un déplacement f1 et un anti-déplacement f2.
    Le fait que le déterminant de la matrice soit est nécessaire mais non suffisant, et loin s'en faut, pour que soit une isométrie.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    pakm

    Re : Isométries

    Ah effectivement, merci. J'avais fait une fixation sur le déterminant de la matrice...
    En calculant la distance entre les points M1 (0,0,0) et M2 (-1,0,-1), et en disant qu'elle est égale à dist(M'1, M'2), je trouve a = /2
    et avec l'histoire du déterminant ça me donne b = 1 pour le déplacement et b = -1 pour l'anti-déplacement. Je suis bien parti?

    Je vais continuer avec ces valeurs et voir ce que j'arrive à faire avec

  5. #4
    God's Breath

    Re : Isométries

    Citation Envoyé par pakm Voir le message
    En calculant la distance entre les points M1 (0,0,0) et M2 (-1,0,-1), et en disant qu'elle est égale à dist(M'1, M'2), je trouve a = /2
    et avec l'histoire du déterminant ça me donne b = 1 pour le déplacement et b = -1 pour l'anti-déplacement. Je suis bien parti?
    C'est effectivement une possibilité.

    Sinon, il y a un vieux théorème qui dit que, dans un repère orthonormé, l'application est une isométrie si, et seulement si, sa matrice satisfait , étant la matrice transposée de et la matrice unité.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    pakm

    Re : Isométries

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    C'est effectivement une possibilité.

    Sinon, il y a un vieux théorème qui dit que, dans un repère orthonormé, l'application est une isométrie si, et seulement si, sa matrice satisfait , étant la matrice transposée de et la matrice unité.
    Ce qui est le cas

    J'ai un peu avancé :

    (2) Je trouve une rotation d'angle Pi/4 par rapport à la droite d'équation x + (1 - /2)z + 2 = 0

    (3) J'ai o2 : (x,y,z) -> (x,-y,z)
    Par contre je vois pas comment faire pour décomposer f2 en produit d'une réflexion affine et d'une rotation dont l'axe est orthogonal au plan de la réflexion, sachant que je trouve que les points invariants forment une droite et non un plan...

  8. #6
    God's Breath

    Re : Isométries

    Citation Envoyé par pakm Voir le message
    (2) Je trouve une rotation d'angle Pi/4 par rapport à la droite d'équation x + (1 - /2)z + 2 = 0
    Voici une droite qui se trouve être un plan...

    Citation Envoyé par pakm Voir le message
    (3) J'ai o2 : (x,y,z) -> (x,-y,z)
    Par contre je vois pas comment faire pour décomposer f2 en produit d'une réflexion affine et d'une rotation dont l'axe est orthogonal au plan de la réflexion, sachant que je trouve que les points invariants forment une droite et non un plan...
    est facile à caractériser...
    Il faudrait déterminer les points invariants de , cela permettrait de ramener le problème affine à un problème vectoriel.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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