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isométries



  1. #1
    pelikano

    isométries


    ------

    Je cherche à déterminer toutes les isométries de |Rn muni de la distance dp induite par la norme de Hölder
    || (x_1,...,x_n) ||p = (|x_1|^p+...+|x_n|^p)^(1/p)

    n est un naturels non nuls et p un REEL dans [1,+oo] tout deux fixés.

    Pour le cas n=1, (exo classique) on trouve :
    f(x) = +x + f(0) ou f(x)=-x+ f(0)

    Le problème pour n quelconque, c'est que l'exercice est tiré d'un cours de topo donc a priori n'utilisant pas toute l'artillerie affine et matricielle.
    En effet, la norme de Hölder pour p différent de 2 ne semble pas est induite par un produit scalaire (et encore je ne l'ai pas montré...)

    Pour p=2, la norme étant induite par le produit scalaire usuel, on a classiquement : f(x)= Ax + b avec b dasn Rn et A une matrice orthogonale.

    Par contre si p différent de 2, je suis bloqué...
    Il me semble que les fonctions de la forme (j'appelle (e_i) la base canonique) :
    f: |Rn ---> |Rn
    sum x_i.e_i ----> sum a_i. x_g(i).e_i + f(0)

    avec a_i qui vaut +1 ou -1 et g une permutation de Sn

    sont solutions du problème mais sont-elles les seules? cela fait 2^n.n! types de solutions différentes (n'y a til pas de redondance dans ces solutions(partielles) explicitées)
    Merci d'avance à ceux qui pourrait m'éclaicir les idées.

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