Développement limité toussa toussa

[invite7cd0149a]

Bonsoir à tous,

Je vous expose ma situation. Je suis actuellement en train de réviser les maths pour rentrer en école d'ingénieur en septembre prochain après quelques années dans la vie active. J'ai commencé il y a environ 1 mois et...je bloque un peu sur les développements limités, notamment pour étudier localement ou à l'infini des fonctions avec les développements limités.

Je bosse sur la base de fiches de maths que je trouve sur le net où se trouve le corrigé (ce sont des fiches du genre qu'on peut trouver dans les écoles). Le problème est que je ne trouve que très rarement le même résultat présenté dans les corrections, du moins quand ça dépasse l'ordre 3.

Un exemple vous permettra de mieux comprendre. Dans cet exemple, on nous demande d'étudier la fonction par rapport à son asymptote vers l'infini et je ne trouve pas le même résultat.

Voici la fonction : f(x) = x * ((x-3)/(x+1))^(1/2)

La solution du corrigé : f(x) = x-2-(2/x^2).
Ma solution : f(x) = x-2-(1/(3*x^2)).

Les résultats sont semblables et j'obtiens les même conclusions sur l’équation de l'asymptote et la position de la courbe par rapport à l'asymptote

Moi je suis parti sur une linéarisation de la puissance (1/2) par exp((1/2)*(ln(x-3)-ln(x+1))).
Eux sont plutôt parti sur le développement limité à l'ordre 2 de la forme (1/(x+1)) puis multiplier par (x-3).

Ma question est la suivante : Est-ce-qu'à votre avis ma réponse est bonne? Si oui, mes exos sont-ils daubés (peu probable hein)? Ou existent-il plusieurs développements limités possible pour une fonction?

Je m'excuse pour la tronche des équations, je ne sais pas comment faire pour bien les présenter. D'ailleurs si vous pouviez m'en dire plus sur la façon de rendre présentable les équations sur ce forum, je suis preneur.

Merci d'avance si vous pouviez éclairer mes lanternes.

A bientôt
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[phys4]

Bonsoir,

Voici la fonction : f(x) = x * ((x-3)/(x+1))^(1/2)

La solution du corrigé : f(x) = x-2-(2/x^2).
Ma solution : f(x) = x-2-(1/(3*x^2)).

Telle que je vois votre fonction elle s'écrit :



Est ce bien ce que vous voulez dire.
Pour mettre sous cette forme vous utiliserez cette présentation.
Référence pour LaTex : http://forums.futura-sciences.com/an...e-demploi.html

[invite7cd0149a]

Oui c'est bien cette formule et merci pour l'info LaTex.

[invite7cd0149a]

Re-bonsoir, donc je corrige sur les conseils de phys4 (ce fût un peu dur mais j'ai réussi )

Alors voici la solution du corrigé : .

Et voici la mienne : .

Voilà, comme ça ce sera plus claire pour tout le monde.

Et donc moi je suis parti sur la linéarisation de la racine par .
Et eux sont plutôt parti sur le développement limité de puis ont multipliés par .

Vous aurez remarqués que h est une nouvelle variable puisque je devais faire une étude vers l'infini, j'ai donc fais un changement de variable sur l'équation initiale pour utiliser le développement limité au voisinage de 0, soit .

Je répète donc mes questions : Est-ce que ma réponse est correcte? Si oui, la réponse du corrigé est-elle fausse (ce dont je doute)? Et donc y'a-t-il plusieurs solutions possibles sur le développement limité d'une fonction?

J’espère que tout est bien plus clair et si ce n'est pas le cas, c'est tout de même bien plus jolie.

Merci d'avance si vous avez la réponse que je convoite.

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

Je retrouve la réponse du corrigé, et j'ai essayé avec votre méthode !!!

Ce développement est assez ardu car il faut développer à l'ordre 3 à chaque fois et il y a beaucoup de coefficients.

Bon courage, ne pas aller trop vite.

[stefjm]

Et donc y'a-t-il plusieurs solutions possibles sur le développement limité d'une fonction?

Bonjour,
Pour un ordre donné, le DL est unique.
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9...C3.A9finitions
Cordialement.

PS : On a vite fait d'oublier des termes quand il y en a beaucoup...

[invite7cd0149a]

Oui en fait j'ai refais l'exercice et j'avais bien fait une erreur. J'ai un peu de mal à décomposer la fonction à la base pour aller au plus simple mais ça va venir.

Merci beaucoup en tout cas.

[invite7cd0149a]

Je me pose maintenant une autre question. J'avais rencontré ça lors d'un autre exercices mais je n'avais pas su comment prendre le problème.

Comment fait-on pour savoir si une fonction (composée ou non) admet un développement limité en 0?

Merci d'avance

[gg0]

Bonjour.

Ta question est bien trop vaste pour avoir une réponse globale. Disons que pour les fonctions élémentaires, le développement de Mac Laurin donne une réponse, les calculs en donnent d'autres. On trouve ça dans tous les cours classiques. les fonctions qui ont un développement en série entière en 0 ont des DL de tout ordre en 0.

Cordialement.

[invite7cd0149a]

Par exemple :

Les fonctions et ne possèdent apparemment pas de DL en 0.

Donc je ne comprends pas pourquoi?

Désolé si les questions vous paraissent basiques mais comme je l'ai dis, ça fait quelques années que je n'avais pas fais de maths purs et j'essaie vraiment de comprendre pour être à peu près au niveau quand je reprendrai les cours.

[phys4]

Dans les cas présentés, il n'y a pas de DL, puisque l'on a un infini, par contre nous pouvons définir un équivalent qui s'écrira :

[invite7cd0149a]

Bon....j'ai pas vraiment compris mais je pense que c'est normal car je ne me suis pas encore intéressé aux développements en séries entière .

Je sais ce qu'il me reste à faire du coup.

Merci beaucoup en tout cas pour toutes ces réponses messieurs.

[phys4]

Correction à la réponse précédente il faut lire :

[gg0]

Cos14,

le premier terme d'un développement limité en 0 de f est f(0). Donc pour un DL en 0, il faut que f soit définie en 0. En fait, on exige que la fonction soit définie sur un intervalle contenant 0.
Manifestement, tu n'as pas vraiment lu mon message, qui parlait de règles qui ont leurs conditions d'application.

En résumé, la plupart des fonctions n'ont pas de DL en 0. les fonctions courantes, définies en 0 et construites sur des calculs simples ont généralement des DL en 0.

Le mieux pour toi serait quand même de lire et étudier un cours sur ce sujet.

Cordialement.

[invite7cd0149a]

C'est vrai que j'ai tendance à foncer un peu tête baisser parfois. Maintenant je t'assure que je me suis interrogé sur le sujet et sur l'intérêt du DL avant de me lancer dans des exercices. Il se peut que je passe à côté de certaines notions importantes car j'ai encore beaucoup de choses à revoir avant septembre.

Voilà, en tout cas, merci à tous!