Hilbert

**mona123** · 25/04/2015, 13h00

bonjour pouvez vous s'il vous plait maidez a resoudre ce probleme:

Soit (e_k) une suite totale et orthonormale dans un Espace de Hilbert H séparables. et soit T : H → H définie en e_k par: T(e_k) = e_{k + 1}. , k = 1, 2 linéairement et continuellement étendu à H.
a)Trouver les sous-espaces invariants.
b)montrer que T n'a pas de valeurs propres.
merci en avance

**Universus** · 25/04/2015, 14h00

Je ne comprends pas la définition de l'application T ; l'indice $\text{[math]}$ prend-il vraiment seulement les valeurs 1 ou 2 dans la relation $\text{[math]}$ ? Si oui, il me semble qu'on peut prolonger cette application d'une myriade de façons, chacune donnant des réponses différentes aux deux questions...

**mona123** · 25/04/2015, 14h08

bonjour Universus
en effet ona T(e_k)=e_k+1 pour tout k dans N^*

**Universus** · 25/04/2015, 17h15

Les éléments de H sont tous de la forme $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Il est facile de calculer $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ de la forme ci-dessous ; la question b) s'en déduit plutôt aisément.

La question a) est peut-être plus ardue (du moins, je ne suis pas assez futé pour trouver une solution rapidement). Quelques sous-espaces assurément invariants : $\text{[math]}$ et, pour tout entier $\text{[math]}$ , l'ensemble $\text{[math]}$ .

Nous pouvons remarquer que pour tout $\text{[math]}$ non nul, l'espace $\text{[math]}$ est invariant sous l'application de $\text{[math]}$ . Notons que l'ensemble générateur $\text{[math]}$ est une famille libre, normée si x l'est (puisque T est une isométrie), mais pas nécessairement orthogonale. Notons aussi que $\text{[math]}$ .

Il est clair que $\text{[math]}$ , mais avons-nous $\text{[math]}$ pour un certain entier n ? Pour le déterminer, il suffit de savoir si chaque $\text{[math]}$ (avec $\text{[math]}$ ) est élément de $\text{[math]}$ et, puisque $\text{[math]}$ , il suffit de savoir si $\text{[math]}$ est élément de $\text{[math]}$ . C'est plausible, mais le vérifier demande une certaine réflexion. Je vous laisse y penser.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**mona123** · 26/04/2015, 19h23

bonjour Universus j'ai trop réflichit pour montrer le fait que ''si X est un espace invariant alors il existe n dans N telque en appartient à X'' mais je n'arrive a a demontrer ce resultat pouvez vous s'il vous plait m'aider.merci

**Universus** · 27/04/2015, 00h55

Soit $\text{[math]}$ un espace invariant de $\text{[math]}$ et soit $\text{[math]}$ ; alors $\text{[math]}$ est compris dans $\text{[math]}$ . Il suffit de montrer $\text{[math]}$ pour un certain N afin de montrer $\text{[math]}$ .

Supposons que $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ ; alors $\text{[math]}$ est élément de $\text{[math]}$ et nous avons $\text{[math]}$ . Clairement, $\text{[math]}$ .

Mon idée est de considérer la suite $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , etc. Cette suite est comprise dans $\text{[math]}$ . Il est plausible (je ne l'ai pas vérifié, honte à moi) que cette suite converge vers $\text{[math]}$ , dans quel cas $\text{[math]}$ serait élément de $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ .

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