Espace de Hilbert ?

[invite50625854]

Bonjour à tous,

Ma question serait certainement mieux posée dans la rubrique mathématique, toutefois espérant avoir peut être une approche plus instinctive de la question j'ai préféré consulter mes amis physiciens (il n'empêche que je porte les mathématiques et ceux qui s'emploient à les faire avancer avec un grand respect mais mon ignorance m'empêche souvent de les comprendre).

Bref, premier postulat de mécanique quantique (si j'ai compris) :
Un état quantique est représenté par un ket.
(ket = vecteur dans espace de Hilbert ?)

Bien, donc maintenant on peut se demander ce que change un espace Hilbertien d'un espace euclidien, et c'est là qu'on regarde notre ami wikipédia et que ça se gate, et que les questions vont fuser :
Espace de Hilbert = Espace de Banach + norme satisfaisant :

(c'est à dire que la norme est choisi de tel manière qu'un parallélogramme possède les même propriété qu'un rectangle ??? Comprends pas, mais c'est quoi cette histoire ? Bon ça va c'est un postulat après tout donc OK, reste que si vous avez des idées sur le sujet je suis preneur).

Donc super jusque là, ensuite c'est la que ça devient n'importe quoi (pour ma bêtise à moi) :
Espace de Banach = Espace vectoriel normé + complet.
Espace vectoriel normé : pas de problème, je vois à peu prés ce que c'est...
Complet : Absolu convergence implique convergence => c'est la que je bloque ! je comprends pas comment une suite absolument convergente pourrait ne pas être convergente. Surtout que cette propriété (AC=>C) est il me semble valable dans les espaces vectoriel donc nécessairement tout espace vectoriel est complet.
En regardant de plus près cette histoire de complétude, il est dit aussi qu'un espace complet c'est : Toute suite de cauchy de l'espace converge dans l'espace. Et là, c'est pareil car une suite de cauchy c'est une suite qui justement satisfait :

Cela ne veut il pas dire d'emblée que la suite est converge ? Donc se posé la question de savoir si une suite de cauchy est convergente me parait stupide (car quelque chose m'échappe bien sur).

Donc pour résumer :
J'aimerais qu'on explique un peu tout ça...
Si on me propose une suite absolument convergente qui ne converge pas, je suis preneur
De même si on me propose un suite de cauchy dans M qui ne converge pas dans M

Et surtout, qu'est-ce qu'apporte (dans une vision géométrique) de différent les ket de l'espace de Hilbert par rapport au vecteur d'un espace euclidien. (les relations fondamentales qui sont différentes).

Question il est vrai très vague, le sujet et là pour ouvrir une discussion sur les espaces de Hilbert (avec les mains au maximum svp).

Désolé pour la lourdeur du message, merci,
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[invite8ef897e4]

Bonjour,

je n'ai que peu de temps mais a vue de nez

c'est plutot

de sorte par exemple que cela marche avec (betement) des reels par exemple !!!

Absolu convergence implique convergence => c'est la que je bloque ! je comprends pas comment une suite absolument convergente pourrait ne pas être convergente.

Ce n'est pas ce que dit l'implication, en fait c'est le contraire : si une suite est AC alors elle est C... Elle peut etre C sans etre AC.

Bon courage, ca prend un prend de temps pour avaler tout cela serieusement.

[invite50625854]

Tu as entièrement raison pour la première remarque, j'ai mal recopié
En plus, je retire ma remarque sur cette histoire de rectangle, j'ai fait une erreur...
Sinon,
Prenons l'espace euclidien avec la norme usuelle (E):
Alors E est espace vectoriel normé, complet, de plus la relation précédante est vérifié. Donc l'espace (E) est un espace de Hilbert ?
Ca voudrais dire que l'ensemble des théorêmes issus d'un espace Hilbertien s'applique dans l'espace euclidien ? Mais que certain théorème qu'on connait dans l'espace euclidien ne serait pas valable dans les Hilbertiens ? C'est cela ? Lesquels ?

Pour la second remarque ce n'est toujours pas clair...
Source wikipédia, article "Espace de Banach"
"Un espace vectoriel normé est un espace de Banach si et seulement si toute série absolument convergente de cet espace est convergente."
Cela dit bien implicitement qu'il doit exister des espaces vectoriel normés ou une suite absolument convergente n'est pas convergente !
Sinon n'importe quel espace vectoriel normé serait de fait un espace de Banach. Et c'est cela qui me trouble car il me semble avoir vu en math pour les espaces vectoriel la propriété suivante (que tu cites aussi et je suis d'accord que) :
Suite Absolument Convergente => Suite Convengente
Je comprends très bien ta remarque, je m'étais simplement mal exprimé, j'espère être plus clair sur ce que je ne comprends pas.

Merci,

[gatsu]

Salut,

Moi on m'avait dit qu'un espace de Hilbert était un espace vectoriel normé dans lequel les suites de Cauchy convergent (le wiki reprend cette definition pour les espaces de Banach par exemple).

Et du coup ça marche parce que toutes les suites de Cauchy ne sont pas forcément convergentes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite50625854]

Oui effectivement en regardant précisement la complétude sur wikipédia il parle aussi des suites de cauchy qui sont convergente.
Alors prenons cette définition comme la bonne pour la complétude.

Question (sur un exemple) :
Est ce que tout ça est vrai :
Une suite de cauchy est une suite qui tends vers un point, c'est à dire qui possède une asymptote.
Pour qu'elle puisse converger il faut nécessairement que cette asymptote soit la valeur 0 sinon ça diverge.
Par exemple une suite du type :
avec à pour asymptote 2. C'est bien une suite de cauchy ? Pourtant elle est divergente ? C'est cela ?

Question : Et alors comme Un est divergente et pourtant de cauchy ça veut dire que l'espace euclidien à norme usuel est imcomplet ?

Sortez moi de ce bourbier svp

Si on écrit cette suite pour un ensemble de Hilbert, alors elle va converger qd même ?
Comprends rien

[invite54165721]

Pour qu'elle puisse converger il faut nécessairement que cette asymptote soit la valeur 0 sinon ça diverge.

Ca vient d'ou ca?

[invite54165721]

la convergence dépend de l'ensemble.
Dans Q les suites de cauchy de rationnels ne convergent pas toutes.
Par construction dans R si. ainsi 3 3,1 3.14 3.141 etc converge vers pi

[invite50625854]

C'est bon j'arrête merci quand même.

Je faisant référence ce coup là à la série, en lisant les commentaires j'ai commencer à croire que convergence signifiée que la série tendent vers une valeur. Mais ce n'est pas le cas, du coup je ne comprends toujours pas pourquoi une suite de cauchy peut divergée. Vu que par définition (selon moi) c'est une suite convergente.

[invite54165721]

Bonjour

On dit qu'une suite converge dans un ensemble E si elle possede une limite dans E.
Sinon on dit quelle y diverge
Ainsi 1/n converge dans [0 infini[ mais diverge dans ]0 infini[
3 3.1 3.14 3.141 etc converge vers pi dans l'ensemble des réels mais diverge (ne converge pas) dans les rationnels pi n'étant pas rationnel.
c'est pareil pour les series qui sont des suites particulieres

Bon week end