Evolution tension courant LCR

[calculair]

Bonjour,

L C R n'est pas le signe d'un parti politique ici .....

Imaginons un dipole L + Rl en serie traversé par un courant I° constant pour t< 0 imposé par la tension V

En parallele sur ce dipole est connecté un dipole comportant en serie une capacité C et une resistance Rc, le courant dans cette branche est nul et le condensateur est chargé à la tension V.

à t = 0 on coupe brutalement la liaison à la source de tension V

Que se passe t il ? comment évolue la tension aux bornes de ce dipole composé de L et Rl avec en parallèle C et Rc ?

Pour moi l'equation differentielle à laquelle obeit ce circuit pour t >0

Q/C - Ldi/dt = (Rl + Rc) i avec comme conditions initiales

CV = Q, par contre je suis gené pour imposer le courant I° comme condition initiale au courant i puisque celui ci est nul dans Rc et égal à I° dans la self et la resistance Rl....

Qu' en pensez vous ?

La resolution de l'équation differencielle decrit t'elle correctement ce qui se passe pour t >0 ?
avec CI Q = CV
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[invitea3eb043e]

Au lieu de prendre i comme variable, prends Q qui a l'avantage de rester continue à la transition t=0.
Ca fait une équation différentielle du second ordre.

[calculair]

Bonjour Jeanpaul

Nous aurions donc

Q/C - L d²Q/dt² = ( Rc+Rl ) dQ/dt

ou L d²Q/dt² + (Rc+ Rl) dQ/dt - Q/C = 0 avec Q° = CV

[calculair]

Bonjour, Bonjour JeanPaul

l'equation caracteristique est

L x² +( Rc + Rl) x - 1/C = 0

La soluttion est reelle, il semble donc qu'il ne peut y avoir oscillation amortie dans ce circuit..... Ce qui est etrange .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

On retombe sur le problème qui a beaucoup mobilisé sur ce forum : est-ce que i = dQ/dt ou bien i = - dQ/dt ?
Si on fait un dessin soigné, on voit que si i tourne dans le même sens qu'avant coupure, et si i>0 alors le condensateur va se décharger,
donc ici i = - dQ/dt
Alors tout rentre dans l'ordre.

[calculair]

Bonjour,

En reprenant avec attention l'equation et les signes

Ldi/dt + q /C = (Rl + Rc ) i

comme i = dq /dt

Ld²i/dt² - (Rl+Rc) dq/dt + q/C = 0

L'equation caracterisique est maintenant ( avec le signe - devant le terme resistif )

Lx² - (Rl+Rc) x + 1/C = 0

delta = (Rl+Rc)² - 4L/C

et x = ((Rl+Rc) +/- Racine (delta))/ ( 2L)

J'espère que cette fois nous sommes d'accord....

[invitea3eb043e]

Ld²i/dt² - (Rl+Rc) dq/dt + q/C = 0
J'espère que cette fois nous sommes d'accord....

Ben, justement, je ne suis pas si sûr !
En effet, si on fait L=0, ça doit donner une exponentielle décroissante de décharge du condensateur et ça ne colle pas (elle est croissante).
En fait, il y a des signes + partout !

[calculair]

Ben, justement, je ne suis pas si sûr !
En effet, si on fait L=0, ça doit donner une exponentielle décroissante de décharge du condensateur et ça ne colle pas (elle est croissante).
En fait, il y a des signes + partout !

Bonjour Jeanpaul,

Je me suis bien rendu compte que cela ne marche pas non plus....

Lorsque on tourne dans la maille lorsque l'alimentation par la source exterieure est coupée

La tension de la self s'ajoute à la tension au bornes du condensateur.

Le courant debite dans les 2 resistances

OK pour dire que dq/dt = -i puisque Q est la quantité d'electricite contenue dans le condensateur.

La tension developpée par la self va s'opposer à la coupure du courant la traversant. La tension de la self et du condensateur sont dans le même sens

Le courant i sera dans le sens qu'il avait été lors de la charge du condensateur dans la branche du condensateur ( lors de la decharge) et dans le sens contraire du courant I° pour t<0 dans la branche de la self.

J'avoue que le problème est delicat, et heureusement que l'on connait des elements de la solution pour maintenir le coherence.

Je suis d'accord il y a des signe + partout

Maintenant pour poursuivre l'etude du comportement de ce circuit, je suppose que le discriminant est nul

(Rl+Rc)² - 4 L/C = 0 ==> (Rl+ Rc)² = 4L/C

La decharge est donnée par

Q = CV exp - ( Rl +Rc) /2L t

le courant i qui circule dans le circuit est donc

dQ /dt = i = - CV (Rl+Rc) /2L exp- ( Rl +Rc)/2L t

Sommes nous en phase ..?

[invitea3eb043e]

Je ne saisis pas l'intérêt de prendre le discriminant nul : c'est le cas le plus compliqué car on n'a pas une somme d'exponentielles.
Ensuite, il faut mettre les conditions initiales : Q = Vo/C et i = Vo/Rl (et attention au signe ! car i = -dQ/dt)
Et à la fin, ça donne la variation de Q à partir de ces 2 conditions initiales.

[calculair]

Bonjour Jeanpaul,

Je n'ai pas compris pourquoi si on est à l'amortissement critique , c'est le cas le plus compliqué.

OK pour la condition initiale Q = CV° ( j'aurais du mettre V° dans les formules utilisées dans mon message precedent )

dQ /dt = - i (t) = - CV° (Rl+Rc) /2L exp - ( Rl +Rc)/2L t

pour t = 0

i ( 0) = CV° ( Rl + Rc) / 2L


J'ai encore de trés gros problème avec ce circuit ....

[invitea3eb043e]

Je ne crois pas que i(0) soit juste.
L'idée, c'est que le courant dans la self est continu : à cause de l'énergie 1/2 L i², le courant ne peut varier instantanément.
Tant que le générateur est là, il maintient un courant permanent V°/Rl et, après déconnexion, ce courant se maintient et finit par s'amortir.
C'est ça le but du montage : absorber l'étincelle de rupture grâce au condensateur.
L'amortissement critique est un peu plus compliqué parce qu'une solution est exponentielle et l'autre est t fois l'exponentielle.

[calculair]

Bonjour Jeanpaul,

Reprenons les choses déjà etablies

Le circuit repond à l'équation

L d²Q /dt² + (Rc + Rl) dQ/dt + Q /C = 0

La condition initiale est que Q = CV°

C'est vrai que pour t = 0 il faut tenir compte que le courant dans la self ne varie pas de façon instantanée. Juste avant l'interruption du courant I° celui-ci valait V°/Rl

Lorsque l'interruption du courant I° est effectuée à t =0 le courant i(t) qui circule dans la maille constituée par la self , la capa et les resistances est le même...

Nous avons aussi dQ/dt = - i(t) ou Q represente la charge du condensateur

En supposant que nous nous plaçons dans la situation de l'amortissement critique.

L'evolution de la charge du condensateur doit suivre la solution de l'equation differentielle

Q(t) = CV° e^{-(Rc+Rl) t /2L} ( a moins que cela ne soit pas vrai ...)

Le courant circulant dans la boucle ne peut être que

i(t) = -dQ /dt = CV° e^{-(Rc +Rl) t /2L}

Si CV° est fixé, le courant est determiné

Par ailleurs l'energie stockée dans le circuit est El = 1/2 LI°² à laquelle il faut ajouter celle qui est stockée dans le condensateur
Ec = 1/2CV°²

Cette energie sera dissipée dans les 2 resistances Rl et Rc

On devrait donc verifier que somme de (Rl+Rc) i(t)² dt ) = El+Ec

En integrant C²V°² L/(Rl+Rc) * (Rl+Rc) = C²V°²L

Cette quantite serait egale à 1/2 CV°² + 1/2 LV°²/Rl² ???


Je ne voit pas comment prendre en compte le fait que le courant dans la self à t = 0 serait V°/Rl.


Tu dois te dire que j'ai pris un cas tordu ....

[invitea3eb043e]

L'evolution de la charge du condensateur doit suivre la solution de l'equation differentielle

Q(t) = CV° e^{-(Rc+Rl) t /2L} ( a moins que cela ne soit pas vrai ...)

Le cas tordu c'est de prendre l'amortissement critique et ne pas bien le gérer.
Dans ce cas, l'équation a 2 solutions :
exp[-(Rc+Rl) t)
t exp[-(Rc+Rl) t]
ce qui est un résultat classique.
Donc en prenant seulement la première solution, tu ôtes une solution, alors que Q est une combinaison linéaire de ces 2 solutions. Tu as escamoté la seconde et c'est pour cela que tu n'y arrives pas.

[calculair]

Re bonjour JeanPaul

En effet la solution generale est de la forme Q(t) = (A t +A ) e

[calculair]

Bonjour JeanPaul

J'avais oublié qu'effectivement la solution generale est de la forme

Q(t) = (At + B ) e^{-(Rl+Rc) t /2L}

Pour t = 0, Q(0) = CV°

Q(0) = B et donc B = CV°

dQ/dt = -i
=- A e^{-(Rl +Rc) t /2L} + (At +CV°) (Rl +Rc) /2L e^{-(Rl +Rc) t /2L}

Pour t = 0

i(0) = A + CV°( Rl+Rc) /2L

avec i(0) ) = V°/Rl

A = V° ( 1/Rl - C(Rl+ Rc) /2L )


J'espère que je ne me suis pas trompé.....

[invite6dffde4c]

Bonjour Calculair et Jeanpaul.
Je me permets d'intervenir un peu tard.
Regardons ce qui se passe dans la réalité.
Quand on coupe l'alim, le courant continue à passer. Il commence par passer en chargeant les capacités parasites qui, elles, existent toujours et dans tous les cas. La montée en tension sur ces capacités, et plus ou moins rapide suivant le courant et la valeur des capacités. Il arrive que la tension soit suffisamment élevée pour créer un arc quelque part. Si ce n'est pas le cas, le montage se comportera comme un LCR avec C formé par les capacités parasites.

Dans ce montage, la tension qui monte crée un courant dans la branche RC qui augmente à la même vitesse que la tension aux bornes de la branche RL. Cette montée est évidement sinusoïdale.

Donc, pour résoudre ce montage vous avez le choix entre prendre comme conditions initiales les vraies: courant nul dans la branche RC et ajouter des capacités parasites. Soit prendre comme condition initial le moment où la sinusoïde passe par son maximum. Si les capacités parasites sont assez faibles, on peut faire la supposition que le courant qui y circule est encore Io, car l'étape de transition a duré très peu. Mais dans la réalité, le courant sera nécessairement un peu plus petit.
Cordialement,

[calculair]

Bonjour LPFR et Jeanpaul,

Concretement ce circuit peut être la bobine d'un relais dont on coupe l'alimentation, ou une bobine d'un moteur Brushless.

Je me propose d'etudier le circuit Rc + C à mettre en parallèle pour limiter les surtentions qui apparaissent lors de l'interruption du courant I° traversant la bobine .

Le condensateur branché en parallèle sur la bobine avec la resistance serie Rc est chargé à V° et le courant circulant dans cette branche est nul lors de la coupure du courant I°.

On neglige les capacités parasites( pour l'instant ) inter spire ( pris en compte dans la capacité C, bien superieure)

Les conditions initiales

Le condensateur C est chargé à Q(0) = CV°

Le courant dans la bobine est I° = V° / Rl

Pour eviter une decharge oscillante, j'ai consideré le circuit à l'amortissement critique.

Il faut que je verifie qu'avec la solution trouvée

1) La tension aux bornes de self et de sa resistance Rl est bien egale ( au signe prés) à la tension aux bornes du condensateur et de la resistance serie Rc.


2) Que l'énergie stockée dans la self et la capacité se dissipe bien dans les 2 resistances.


Voila un point de mes reflexions. La difficulté est qu'il faille respecter comme l'a fait remarqué JeanPaul, les CNI dans la self et la charge du condensateur.

Enfin la resolution de l'equa dif lors de l'amortissement critique etait un loin pour moi....

Je vais tacher de tout rassembler sur un papier....

[invitea3eb043e]

A première vue, ça paraît OK. Choisir l'amortissement critique est un bon choix car c'est ce qui amortit le mieux. Mais on pourrait imaginer d'autres critères, du genre la tension max aux bornes du condensateur, qu'il serait profitable de réduire pour éviter les claquages. Ca risque d'être un peu plus compliqué.

[invite6dffde4c]

Re.
Pour moi le plus simple est le composant non linéaire: diode, diode Zener, diode transil, etc.
A+

[calculair]

Bonjour LPFR et Jeanpaul

Merci de votre interet pour mon petit problème.

Pour ce qui concerne l'effacement de la surtension avec un composant non lineaire comme une diode est evidement une solution qui semble efficace et qui a fait ces preuves pour l'objectif que j'ai decrit.

Par l'ailleurs le problème m'interesse en tant que problème theorique et l'etude de ce circuit LCR est un peu revolutionnaire quant aux conditions initiales particuliaires. En tous les cas, mes chers professeurs ne m'ont jamais posé le problàme de cette façon.

De plus et pour des raisons qui me sont inconnues, il existe de la non fiabilité dans les electroniques de commande des moteurs brushless.

Comme j'en ai pas sous la main et donc je n'ai pas la possibilité de mettre un oscillo ou faire des mesures sur les regimes transitoires. j'ai essayé de voir d'ou pouvait provenir le problème de façon un peu theorique et intuitive.

Les utilisateurs concepteurs de l'electronique, ont dejà intergré les fameuses diodes et les utilisateurs tentent dejà d'amortir les courants de rupture dans des condensateurs de valeurs estimées pifomètriquement

L'experience montre que cela fonctionne mais avec un risque de dysfonctionnement mal maitrisé.

Pour l'instant je suis davantage interessé par l'etude du comportement de ce circuit hyper classique, avec ces conditions initiales un peu particulières dans l'espace academique.....même si l'impulsion initiale de cet interet est ailleurs....

J'espère que LPFR ne me trouvera pas trop sadique de l'esprit......

[invite6dffde4c]

...
J'espère que LPFR ne me trouvera pas trop sadique de l'esprit......

Re-bonjour.
Non, non. Je crois que le terme est plutôt "masochiste".

Comme je vous ai déjà dit, si la fréquence propre de la bobine (avec ses capacités parasites) est assez élevée, on peut partir des conditions initiales avec un courant Io dans tout le montage. Ceci permet de calculer les valeurs de résistances et capacités pour avoir un amortissement critique.
Parmi les valeurs possibles il faut pendre ceux que satisfont les conditions de sécurité: tension maximum inférieure à la tension de formation d'arcs dans la self.
Cordialement,

[stefjm]

J'arrive après la guerre, mais je me demande quand même pourquoi tu ne modélises pas en Laplace?
C'est particulièrement facile pour les conditions initiales.

[calculair]

J'arrive après la guerre, mais je me demande quand même pourquoi tu ne modélises pas en Laplace?
C'est particulièrement facile pour les conditions initiales.

bonjour stefjm,

tu as raison , mais Laplace cela fait bien 40 ans a un poil prèsque je ne l'ai plus utilisé., mais effectivement c'est une methode.

En faisant attention on doit y arriver avec un calcul non symbolique

[stefjm]

C'est juste plus chiant!

http://tcts.fpms.ac.be/cours/1005-01/theocirc3.pdf
Fig 3.2

Une inductance, c'est Lp en parallèle avec une source de courant i(0-)/p
Un condensateur, c'est 1/Cp en série avec une source de tension u(0-)/p

Cela permet de lier très efficacement l'ordre du système avec les conditions initiales. (et surtout les bonnes)

On peut aussi trouver plus facilement les bonnes approximations, ie celles qui conduisent à du physiquement acceptable.

@+

[calculair]

Bonjour

J'ai parcourru ton document, je ne sais pas si cela change fondamentalement les choses.

Par contre le theorème de superposition semble permettre d'ajouter les solutions des differentes conditions initiales

Ici le coup classique " courant dans la self à t =0 " et condensateur dechargé
Tu ajoutes en suite la solition V° aux bornes du condensateur et I = 0 dans la self à t = 0

Je ne sais pas si c'est beaucoup plus simple que la resolution de l'equa diff en injectant les 2 conditions initiales.

[stefjm]

Bonjour,
De mon expérience personnelle, j'écris moins de conneries quand j'utilise Laplace que lorsque j'utilise des équa diff. (mais c'est probablement parce que je manque de rigueur en math)

J'aime bien garder les CI liées aux composants qui les imposent.

Un autre avantage des TL, c'est qu'on traite plus facilement (du moins je trouve) les échelons (interrupteurs) et les diracs. (quand on néglige un composant par exemple)
Cordialement.

[calculair]

Bonjour,

Je reviens à la charge avec mon circuit L avec Rl en serie en parallèle sur un circuit C et Rc en serie.

A l'origine il es alimenté par une source continue V° branché d'un cote entre L et C et de l'autre entre Rc et Rl

Le courant dans la branche de la self est I° = V°/Rl
Le courant dans la branche du condensateur est I' = 0 et le condensateur est chargé sous V° tel que Q° = CV°

On coupe brutalement le circuit contenant le génerateur V° à t = 0

Nous avons vu que l'equation differentielle qui gère ce circuit est ,
on posant Rl +Rc = Rt

L d²i/dt² + Rt di /dt + i /C = 0

ou

L d²q/dt² +Rt dq/dt + q/c =0

Les solutions de l'equation caracteristque

x = (- Rt +/- Sqrt ( Rt² - 4L/C )) /2L

on pose w² =( Rt² -4L/C ) 4L²

on trouve
q(t) =Q(t) = A exp ( -Rt t /2L) cos ( W t ) + B exp ( -Rt t /2L) Sin ( W t )
et en faisant t = 0 A = CV°

comme pour t = 0 et comme l'a fait remarqué LPFR le courant dans la self est I° = V° /Rl

en derivant q(t) / au temps on a i(t)

i (t)=dQ/dt=-CV°Rt/2L exp(-Rt t /2L)Cos w t-CV°W exp (- Rt t /2L ) Sin W t - B Rt /2L exp ( -Rt /2L ) Sin wt + B w exp ( - Rt t /2L)Cos Wt


pour t = 0 i(0) =CV°Rt/2L + BW

Comme i(0) = V°/Rl => V° ( 1/Rl + C Rt /2L) /w) = B


Maintenant que l'on connait les tension aux bornes de la self de la capa et des resistances je calcule la somme des tensions
Self + Rl au cours du temps ( avec Excel )
Capa + Rc au cours du temps

Ces tensions devraient être egale ( circuit branché en parallèle )

Horreur cela n'est pas vrai !!!!!! sauf à l'instant t = 0

Je me suis planté...mais je ne vois pas ou...

Merci de m'aider de me tirer cette condradiction, et je ne suis pas à l'amortissement critique comme me l'a conseillé jeanpaul ....

[calculair]

Bonjourà tous,

Le comportement de ce circuit n'interesse personne ? Evidemment on trouve des oscillations amorties ( amortissement faible), mais les courants et les tensions aux bornes des composants n'est pas coherentes.

dois je comprendre que les conditions initiales injectees ne sont pas bonnes ?
Alors lesquelles faut il envisager ???

[invitea3eb043e]

Tu as refait la même erreur : avec tes conventions de sens, on a i = - dQ/dt

[calculair]

Tu as refait la même erreur : avec tes conventions de sens, on a i = - dQ/dt

Bonjour Jeanpaul

Effectivement, mais en fait j'ai inversé les signes dans mon calcul de la derivée.

^Mais cela ne cadre toujours pas....., je regarde encore s'il n'y a pas encore une erreur....

Cordialement