Bonjour, je cherche à démontrer ce théorème :
Théorème : Soit U un ouvert de, soit
différentiable,
. Soit
. On suppose que pour tout
, la différentielle de f en m
est de rang maximal p. Alors
est une sous-variété de
de dimension
.
Pour moi la définition d'une sous variété est : Soientouvert et
un sous-ensemble fermé. On dit que M est une sous-variété de U de dimension p si : pour tout x dans M, il existe V voisinage ouvert de x dans U, il existe O ouvert de
, il existe H un sous-espace vectoriel de
de dimension p et il existe
un difféomorphisme tels que:
Voici comment je commence pour démontrer ce théorème :
Quitte à faire une translation, on peux supposer que f(0) = 0 et c = 0.est de rang maximal p.
On veut vérifier qu'il y a un voisinage V de m tel queest une sous variété.
Soit, la base canonique de
. Quitte à faire un changement de coordonnées puis à multiplier par certaines constantes, on peux supposer que :
Notonsla ième coordonnée de f
Complétons f en une applicationtel que
où
Alors :
Le théorème d'inversion locale dit que g admet un inverse h sur un voisinage V de 0. D'où.
D'où, en regardant sur les q premières composantes, on obtient :
, i.e.
.
Ici, je bloque ! Je ne vois pas comment faire, j'ai pour indication : l'image réciproque d'une constante par une application linéaire est une sous variété. Ok mais je ne vois pas où ou comment l'utiliser ? Pourriez-vous m'apporter de l'aide ?
Merci d'avance !
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