Submersion sous variété

[invitebc8d473c]

Bonjour, je cherche à démontrer ce théorème :

Théorème : Soit U un ouvert de , soit différentiable, . Soit . On suppose que pour tout , la différentielle de f en m est de rang maximal p. Alors est une sous-variété de de dimension .

Pour moi la définition d'une sous variété est : Soient ouvert et un sous-ensemble fermé. On dit que M est une sous-variété de U de dimension p si : pour tout x dans M, il existe V voisinage ouvert de x dans U, il existe O ouvert de , il existe H un sous-espace vectoriel de de dimension p et il existe un difféomorphisme tels que:

Voici comment je commence pour démontrer ce théorème :

Quitte à faire une translation, on peux supposer que f(0) = 0 et c = 0. est de rang maximal p.
On veut vérifier qu'il y a un voisinage V de m tel que est une sous variété.
Soit , la base canonique de . Quitte à faire un changement de coordonnées puis à multiplier par certaines constantes, on peux supposer que :



Notons la ième coordonnée de f

Complétons f en une application tel que où
Alors :



Le théorème d'inversion locale dit que g admet un inverse h sur un voisinage V de 0. D'où .
D'où, en regardant sur les q premières composantes, on obtient :
, i.e. .

Ici, je bloque ! Je ne vois pas comment faire, j'ai pour indication : l'image réciproque d'une constante par une application linéaire est une sous variété. Ok mais je ne vois pas où ou comment l'utiliser ? Pourriez-vous m'apporter de l'aide ?

Merci d'avance !
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[invite93e0873f]

Bonjour,

La fonction est linéaire et vous souhaitez considérer la pré-image de par cette fonction. L'indication vous informe donc du fait que cette pré-image est une sous-variété de , en fait un sous-espace vectoriel de codimension : évidemment, il s'agit de .

Essentiellement, ce qu'il vous reste à montrer, c'est ceci : la fonction h étant une immersion injective, elle envoie des sous-variétés sur des sous-variétés. Dans le contexte actuel, vous n'avez pas à montrer consciemment cela, puisque tous les candidats pour , et sont maintenant accessibles.

Cordialement

[invitebc8d473c]

Merci pour votre réponse, par contre, pour la codimension du sous espace-vectoriel je n'ai pas la même chose que vous, j'ai Comme est une application linéaire sur un voisinage de 0, l'espace est un sous-variété de dimension de et non de codimension n-p ?

Ensuite, effectivement, j'aimerais faire cette preuve sans utiliser des termes techniques comme immersion pour la rendre plus compréhensible au niveau L3 :

Voila ce que j'ai fais :

On choisit W = h(V) qui est un voisinage ouvert de 0 dans U, O = V ouvert de , un sous-espace vectoriel de de dimension p et le difféomorphisme et on a bien :


Êtes vous d'accord ? Est bien suffisant pour démontrer ce théorème ?

Merci pour votre aide !

[invite93e0873f]

Merci pour votre réponse, par contre, pour la codimension du sous espace-vectoriel je n'ai pas la même chose que vous, j'ai Comme est une application linéaire sur un voisinage de 0, l'espace est un sous-variété de dimension de et non de codimension n-p ?

Vous avez totalement raison ; c'est ce que j'écrivais initialement, mais un parasite cérébral nommé « stupidité » s'est manifesté et m'a tout fait changer...

Ensuite, effectivement, j'aimerais faire cette preuve sans utiliser des termes techniques comme immersion pour la rendre plus compréhensible au niveau L3 :

Le concept d' « immersion » n'est pas très difficile considérant tout ce dont vous traitez et m'apparaît même intuitif. Seulement, afin de montrer qu'une immersion injective envoie des sous-variétés plongées vers des sous-variétés plongées, il faut passer par un argument tel que celui que vous cherchez à obtenir et n'est donc pas très pertinent pour atteindre l'objectif que vous visez.

Voila ce que j'ai fais :

On choisit W = h(V) qui est un voisinage ouvert de 0 dans U, O = V ouvert de , un sous-espace vectoriel de de dimension p et le difféomorphisme et on a bien :


Êtes vous d'accord ? Est bien suffisant pour démontrer ce théorème ?

Oui, le raisonnement m'apparaît bon, mais je pense qu'il conviendrait mieux d'utiliser des notations cohérentes avec la définition que vous avez donnée de sous-variété; je comprends néanmoins que vous repreniez la notation du raisonnement.

[A voir en vidéo sur Futura]