Lagrangien de Yang-Mills pour l'electromagnetisme

[Joubs94]

Bonjour,

m’intéressant a la théorie de Yang-Mills, j'essaye de retrouver les équations de Maxwell a partir du principe de moindre action. La fonctionnelle de Yang-Mills est la suivent :

 [tex] YM(D)=\int_M <F_D,F_D>dvol(M) $ [/tex]

, ou D est une connexion sur notre fibre vectoriel ( D=d+A )et F la courbure associe. Le Lagrangien de Yang-Mills est stationnaire ssi

 [tex] D^*F=0 [/tex]

. D^* est la connexion duale de D c'est a dire

 [tex] D^*=*D* [/tex]

, * est l'operateur Hodge star. C'est l'équation de Yang-Mills dans le cas générale. Pour retrouver les équations de Maxwell on se place dans l'espace temps de Minkowski avec pour groupe de jauge U(1). L’équation de Yang-Mills devient

 [tex] d^*F=0 [/tex]

.Ici d^* est le dual de la dérive extérieur définit de manière analogue

 [tex] d^*=*d* [/tex]

Lorsqu'on résoud cette équation on retombe sur les équations de Maxwell sans densité de courent ( J=0 ). J'aimerais retomber sur les équations générales mais mon problème est le suivent. Dans plusieurs livre ils résolvent l’équation

 [tex] D^*F=0  [/tex]

en précisant qu'il sagit d'un cas particulier puis disent que si on a une densité de courant l’équation devient

 [tex] D^*F=J [/tex]

. Je ne comprend pas d'ou viens le J. L'action est-elle modifie ? Ou le J provient d'une transformation de jauge ?

J’espère avoir été clair, si vous avez des question n’hésitez surtout pas. Et merci d'avance.


PS : Veuillez m'excuser pour les lignes de code mais je n'arrive pas a les faire fonctionner
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[Universus]

Bonjour,

PS : Veuillez m'excuser pour les lignes de code mais je n'arrive pas a les faire fonctionner

C'est parce que vous avez sélectionné la balise [ HTML ] en plus de la balise [ TEX ] : en vous citant, nous voyons les balises que vous avez utilisées, par exemple

La fonctionnelle de Yang-Mills est la suivent : [ HTML ] [ tex] YM(D)=\int_M <F_D,F_D>dvol(M) $ [/tex] [/HTML]

Enfin

Je ne comprend pas d'ou viens le J. L'action est-elle modifie ? Ou le J provient d'une transformation de jauge ?

La fonctionnelle d'action initiale que vous considérez est bien celle du champ de Yang-Mills pur. Pour obtenir celle avec un J non nul, il faut effectivement modifier le lagrangien, par exemple en ajoutant . Les équations d'Euler-Lagrange (pour le champ électromagnétique) donnent alors l'équation que vous recherchez.

Si vous êtes intéressé, voici ci-dessous une méthode pour obtenir en général des candidats pour le quadri-courant, plutôt que de sortir cet objet abstrait d'un chapeau !

 Cliquez pour afficher

En théorie des champs, si est un champ décrivant une particule chargée (en particulier, on associe un lagrangien à ce champ afin de décrit son comportement « pur », « libre »), alors il y a une façon générale de trouver un objet mathématique jouant le rôle de source pour le champ électromagnétique produit par ce champ. Cela consiste à appliquer le théorème de Noether (version théorie des champs) sur la symétrie de jauge du champ de la particule chargée. De la sorte, on obtient une sorte de quadri-courant

Une fois cet objet mathématique trouvé, on ajoute un nouveau terme dans le lagrangien qui le couple à la forme de connexion, comme je l'ai indiqué ci-dessus : cela produit de l'interaction entre le champ de Yang-Mills et le courant. La constante de proportionnalité sert à fixer la « force » de cette interaction ; par exemple, en électrodynamique, il s'agit de la charge électrique de la particule modélisée par le champ .

Cette procédure en est une parmi tant d'autres, montrant qu'il n'y a diverses façons de traiter les sources. Je vous laisse lire la section suivante sur les tenseurs stress-énergie.

[azizovsky]

Salut, c'est la même chose (analogiquement) que les équations de Maxwell sous forme covariante avec source ou sans sources http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quations_de_Maxwell

[azizovsky]

Bonsoir, les équations de l'électromagnétisme dans le langage des formes différentielles s'écrivent :



équations de Maxwell avec sources.

et

équations de Maxwell sans sources.
(*) est l'opérateur de Hodge.(toutes les constantes physiques = un )

même forme avec les équations de Yang-Mills
voir :http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_Yang-Mills

[A voir en vidéo sur Futura]

[Joubs94]

Tout d'abord merci a tous pour ces réponses rapides.

Azizovsky, oui j'avais compris que l’identité de Bianchy donne les 2 premières équations de Maxwell et l’équation de yang Mills les 2 autres. Ce que je ne comprend pas est l'apparition de la densité courant J dans l’équation de Yang-Mills.

Universus, merci pour ces références. En effet modifier le Lagrangien sans raison derrière pour retomber sur la bonne formule m'aurait fait mal au coeur... Je vais donc me plonger dans la lecture sur le théorème de Noether et du tenseur stress-énergie !

[Universus]

Universus, merci pour ces références. En effet modifier le Lagrangien sans raison derrière pour retomber sur la bonne formule m'aurait fait mal au coeur... Je vais donc me plonger dans la lecture sur le théorème de Noether et du tenseur stress-énergie !

De prime abord cependant, ces techniques ne valent que lorsque la particule est décrite comme un champ (dynamique) et non pas comme un corpuscule, ce qui est le modèle qu'on rencontre habituellement en premier. Dans ce cas, le courant est prescrit comme étant un quadri-vecteur défini le long de la ligne d'univers du corpuscule, souvent colinéaire à la quadri-vitesse. Cependant, en procédant à la physicienne (et je pense bien que cette approche est maintenant formalisée mathématiquement), ces cas peuvent être décrits comme des « champs généralisés », bref des distributions (du genre « delta de Dirac »).

[Joubs94]

Apres avoir lu quelques références j'ai toujours un problème. Voila ce que j'ai compris. Notre Lagrangien est invariant sous un groupe de jauge ( en l’occurrence U(1) ). D’après le théorème de Noether version théorie des champs il existe une densité de courant conserve au cour du temps. Pour pouvoir faire apparaître " la partie manquante de notre Lagrangien " qui correspond au courant on doit effectuer un changement de référentielle galiléen. Dans notre cas il s'agit d'une transformation de Lorentz. Je ne comprend pas comment se transforme le Lagrangien sous les transformation de Lorentz. A quel moment apparaît le courent ?

[Universus]

Pour pouvoir faire apparaître " la partie manquante de notre Lagrangien " qui correspond au courant on doit effectuer un changement de référentielle galiléen.

Je n'ai jamais vu ça et j'ai de la difficulté à comprendre comment cela peut être vrai. Le lagrangien du champ pur signifie qu'on a un champ sans source, un peu comme on considère une particule sans potentiel avec lequel interagir ; en effectuant une transformation de symétrique, pourquoi une source apparaîtrait-elle ? Je ne prétends pas que vous ayez mal lu ce que vous avez étudié, mais il me semble plus probable que le raisonnement soit « on cherche une partie manque à la fois invariante de jauge et invariante de Lorentz (et simple) ».

Le terme d'interaction doit être ajouté à la main, ça me semble inévitable.

[azizovsky]

Bonsoir, la théorie de Y.M est calqué sur les idées mathématique de Weyl et l'électrodynamique quantique, on peut dire une généralisation des concepts physiques, donc le courant doit apparaitre une conséquence simple .
La dérivée covariante en EDQ
.
La dérivée covariante proposée par Yang et Mills est:
dans la théorie Y.M, le couant scalaire est :
ou fermioniques:
.
il faut regarder ses expressions en EDQ.(généralisation) et aussi l'évolution historique des idées physiques.

[azizovsky]

comme a dit Universus, il y'a l'art de fabriquer les équations (bricolage) en physique si tu savais ce que j'ai dit avant .

[azizovsky]

la preuve est :

Il ne reste plus qu'à rajouter le terme du champ pour obtenir le lagrangien total de l'équation de Dirac (cela aurait été relativement dur de le trouver d'une autre manière...):

relation (45,140) .

http://www.sciences.ch/htmlfr/physat...ntchamps01.php