Bonjour à tous,
Il m'est demandé de montrer que la longueur de l'ellipse d'équation x^2+4y^2=4a^2 et que la longueur de la courbe r=a*sin(2theta) sont égales.
Pour l'ellipse , je remarque que le petit rayon (sur y) vaut a et que le grand (sur x) vaut 2a.
Grâce à un paramétrage, je trouve que x=2*a*cos(theta) et y=a*cos(theta)
L'intégrale de longueur (de 0 à 2pi) est donc sqrt(4*a^2*sin^2(theta)+a^2*co s^2(theta)) qui après simplification donne a*sqrt(1+3sin^2(theta)) , que je n'arrive pas à intégrer.
Pour l'autre courbe, mon intégrale de longueur vaut (de 0 a 2pi) : sqrt(a^2*sin^2(2*theta)+4*a^2* cos^2(2*theta)) qui donne après simplification a*sqrt(1+3*cos^2(2*theta)) , que je n'arrive pas à intégrer.
Quand je calcule ces 2 intégrales via la calculette j'obtiens bien l'egalité , à savoir L=9.68884482 unité de longueur.
Pour montrer l'égalité, j'ai pensé à montrer que les deux intégrants sont egaux , mais je n'arrive à rien de bon.
Est ce que vous avez une idée pour montrer cette egalité par calcule soit en me disant comment résoudre cette intégrale , ou en me disant comment montrer l'égalité des intégrants ou une autre manière si vous avez d'autres idées.
Merci d'avance,
Maxime10
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