longueur d'1 courbe

[invite90610aa0]

bonjour j'aimerais savoir s'il existe une formule pour approcher la longueur de la courbe representative d'une fonction, comme l'intégrale pour une aire?
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[inviteab2b41c6]

Bonjour,
oui, il suffit d'intégrer la racine de (f'²(t)+1)dt sur [a,b] et tu as la longueur de ta courbe entre a et b.(à la condition que f soit dérivable)

Tu remarqueras que je dit qu'il suffit ...
En fait il existe des courbes qui ne sont pas de classes C1 et qui "ont une longueur" on parle de "courbess rectifiables"...

[inviteab2b41c6]

Si tu veux une démo avec les mains, en voici une:

La vitesse du mobile est indépendante du repère dans lequel tu te places, celle ci est donnée par
||v||=racine de (y'²+x'²) avec y la position sur l'axe des ordonnées et x celle sur l'axe des abscisses.

y=f(x) et (x->x)'=x->1

et donc ||v||²=f'(x)²+1

or la distance totale parcourure est s=somme de ||v(x)||dx

En fait c'est logique puisque ||v||=ds/dt

[invite980a875f]

Salut,
je ne sais pas s'il existe des formules, mais ça me semble possible. En appliquant le même raisonnement que pour les intégrales:
on premnd un intervalle [A;B] d'une courbe, sur lequel elle est continue. Si l'on coupe l'intervalle en deux parties, on obtient une première (très grosse) approximation: si l'on "coupe" l'intervalle en un point C, on obtient (longueur de la portion de courbe AB)=AC + CB. C'est très approximatif. Si l'on coupe en n morceaux, quand n tend vers +l'infini, en additionnant toutes les portions de courbes (qu'on peut assimiler à des segments quand n est très grand), on obtient la longueur de la courbe. Ca se fait donc avec les suites. Je ne sais pas s'il y a une formule générale, parce que faire ça par les suites, c'est un peu ******.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteab2b41c6]

Lorsque la courbe est C1 sur un compact je viens de donner la "formule" ...

[invite980a875f]

Salut,
je ne sais pas ce que signifie "C1 sur un compact" Et je ne crois pas que ce soit la peine que tu tentes l'explication.

[invite88ef51f0]

C1 signifie dérivable et à dérivée continue... Un compact est un ensemble fermé et borné (donc sur R c'est un intervalle du type [a,b]). Tu vois, c'est pas méchant pour une fois...

[invite980a875f]

c'était juste le nom qui faisait peur!

[invite90610aa0]

OK merci ca faisait pas mal de temps que ca me trottait dans la tête