Intégrale de 1/ln(x)

[Lilaa21]

Bonjour!

Je me trouve face à un sujet de DM que je n'arrive pas à résoudre...
Le sujet nous demande d'étudier d'abord l'intégrale de 1/lnt : domaine de définition, dérivée, sens de variation etc..
J'ai donc déterminé que F (j'appelle F l'intégrale de 1/lnt et f la fonction 1/ln) était croissante sur son domaine de définition (R+ \{1})
Cependant je n'arrive pas à trouver la limite de F en 1... (et j'en ai besoin pour montrer qu'elle est C1 sur R+)
Le sujet nous propose d'abord de déterminer la limite en 1 de (1/lnt - 1/(t-1)) et d'en déduire ensuite la limite de F en 1. Cependant je ne vois pas du tout le lien entre les deux... Pouvez vous m'éclairer svp ?

Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Comme ln(t) s’annule en 0, "l'intégrale de 1/lnt" n'a pas de signification. D'ailleurs, une intégrale sans bornes ....

Définis clairement ce que tu appelles F.

Cordialement.

[Lilaa21]

Oh oui excusez moi je ne me suis pas relue! On a F = intégrale entre x et x² de dt/ln(t) !

[Médiat]

Bonjour,



La première chose à remarquer c'est que et

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonsoir.

La proposition qui t'est faite est peut-être d'écrire

Puis de décomposer F(x) en deux intégrales. La première est celle d'une fonction qui se prolonge par continuité en 1, la deuxième se calcule bien.

Cordialement.

[Lilaa21]

Donc si je décompose comme vous me le conseillez j'ai :

F(x)= ∫(1/ln(t) - 1/(t-1)dt) + ∫dt/t-1 (le tout entre les bornes x et x²)

Si on pose g(x)= 1/ln(x) - 1/(x-1) : g(x) est une fonction continue sur ]0;+inf[ car lim g(x) (qd x-> 1) = 1/2. Donc cette fonction admet une primitive G(x) et alors : ∫g(t)dt = G(x²)-G(x), est une fonction continue et dérivable dont la dérivée est 2xg(x²) - g(x).

Et l'autre fonction on fonction on l'intègre en [ln(t-1)] entre les bornes x et x² ..ce qui nous donne ln(x²-1)-ln(x-1)!

Mais je ne vois toujours pas comment obtenir la limite de F(x) qui semble être ln(2)..

[Lilaa21]

On a bien ln(x²-1)-ln(x-1) = ln(x+1) et cela tend vers ln(2) quand x tend vers 1. Donc on a g(x) qui vaut 1/2 quand x tend vers 1 et on a l'autre partie de l'intégrale qui tend vers ln(2) quand x -> vers 1... on en déduit que F tend vers 1/2 + ln(2)... ?

Et on aurait F(x) = G(x) + ln(2).. ? Or on a vu que G(x) était dérivable donc F(x) l'est aussi donc F(x) est aussi C1 sur ]0,+inf[ ! et on a F'(x) = G'(x) = 2xg(x²) - g(x) ?

[gg0]

Et on aurait F(x) = G(x) + ln(2).. ?

Pourquoi remplacer la deuxième partie de la fonction par sa limite en 1 ????

[Lilaa21]

Parce que je n'arrive définitivement pas à trouver la fameuse limite de F(x) en 1... Ni même la limite de G(x).. EN fait je suis complètement perdue!

[gg0]

Désolé, je ne te comprends pas. Soit tu as vraiment fait le calcul annoncé et tu as trouvé la limite (tu l'as même écrite). Soit tu fais du baratin dans les messages #6 et #7.
Comme toujours en maths, dès que ce n'est pas complétement évident, on rédige soigneusement (*). De ce fait, on n'est pas perdu, puisqu'on a tout clairement écrit.
mais quand on commence à mélanger les fonctions et leurs limites, on perd son temps.

Pour l'instant, vu que tu ne proposes pas une rédaction complète, difficile de t'aider. Rédige !

Cordialement.

(*) calcul expliqué et fait uniquement d'applications de règles mathématiques.