L2 : intégrale impropre et intégrale

[Chamimi]

Bonsoir,

Il y a quelque chose que je ne comprends pas bien dans mon cours : on sait que l'intégrale impropre d'une fonction définie sur un intervalle du style [a;b[ converge si cette fonction est intégrable sur cet intervalle.

Mais pourquoi dans ce cas n'est pas intégrable sur , mais son intégrale impropre converge?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[MMu]

Pour plus de rigueur regarde les définitions : http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_impropre ...

[Chamimi]

J'ai regardé sur Wikipédia avant de venir poser la question mais si on a l'équivalence :
L'intégrale impropre d'une fonction converge cette fonction est intégrable sur cet intervalle.

Pourquoi l'intégrale impropre de converge sur et mais elle n'est quand même pas intégrable?

[Tryss]

Tout simplement parce que ton cours est faux / mal copié / mal lu :

L'intégrale de f sur I peut converger sans que f soit intégrable:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%...27une_fonction

[A voir en vidéo sur Futura]

[Chamimi]

Ah d'accord, effectivement, mais graphiquement cette fonction a l'air intégrable non (son aire est bornée)?

En fait, je ne vois pas trop la différence graphiquement entre intégrale et intégrale impropre...

[Chamimi]

Personne pour m'éclairer?

[Tryss]

Une intégrale impropre c'est quand tu as un des morceaux qui s'en va a l'infini (soit que ta fonction tend vers l'infini pour l'une des bornes de l'intervalle ou que l'une des bornes de l'intervalle est infinie).

Après pour savoir si une intégrale impropre converge, c'est difficile "à l'oeil". Par exemple l'intégrale sur [1,+oo[ de 1/x² converge mais pas celle de 1/x. Alors certes, on voit que la seconde fonction tend plus vite vers 0, mais je serrai bien incapable de différentier une intégrale impropre convergente d'une qui ne serrait pas convergente.

[Chamimi]

Merci beaucoup pour ta réponse, je vois mieux ce qu'est une intégrale impropre