Déterminer les valeurs de a pour obtenir des racines réelles

[invite1611816e]

Bonjour,

f(x) = x^3 + ax -1 = 0

Je voudrais savoir pour quelles valeurs de a la solution possède trois racines réelles ?

J'en ai besoin pour trouver les racines avec la méthode de Newton-Raphson ensuite mais avec les a que j'ai choisi (un peu au hasard) je ne trouve qu'une seule racine.


Par 3 racines réelles faut-il comprendre tel que f(x*) = 0 = y ??
J'ai tout d'abord essayé comme cela et en prenant a = -2 la fonction s'annule 3 fois mais avec Newton-Raphson je ne trouve qu'une seule valeur qu'importe la valeur initiale (X₀) que je choisis.

Xn+1 = Xn - f(Xn) / f'(Xn)


Merci,
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[invite9dc7b526]

Tu peux dériver la fonction. Si l'équation a 3 racines distinctes, la dérivée s'annule en deux points.

[Médiat]

Bonjour,

Attention :
f(x) = x³ a 3 racines réelles (une triple) et la dérivée ne s'annule qu'une fois.
f(x) = x³ - 3x + 5 n'a qu'1 seule racine réelle et la dérivée s'annule 2 fois

[invitef29758b5]

Salut
Un bon croquis des fois ça peut aider :
Tracer la courbe y = x³-1
Tracer des droite passant par l' origine (y = bx)
Regarder comment varie le nombre d' intersection suivant la pente de la droite .
Chercher le cas limite .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited3a27037]

bonjour

Si tu veux quelque chose d'approximatif, il y a 3 racines réelles si a < -1.9
si tu veux quelque chose d'exact, il faut étudier les variations de la fonction et déterminer pour quelles valeurs de a le maximum local est > 0

[sylvainc2]

Pour résoudre , on peut faire:



et si il y a trois racines réelles qu'on peut calculer avec des cosinus avec la méthode de Viète.

Pour la forme réduite d'une cubique on pose a=0 évidemment.

[invited3a27037]

ah oui ça marche

avec a = 0 et c = 1 on trouve 3 racines si:


PS
est ce que vous voyez dans mon message la formule en latex au dessus de la ligne ?

[gg0]

Oui,

quand on introduit du LaTeX dans une ligne d'écriture, la zone LaTeX est placée avec son bas sur la ligne d'écriture. Une idiosyncrasie du moteur de rendu du forum.

Cordialement.

[invitef29758b5]

Si x1 est racine double :
y'(x1) = 0

Il me semble que c' est plus simple .

[Médiat]

Bonjour,

Il me semble que le plus simple (ne demandant pas de connaître le calcul des racines de l'équation de degré 3) est de calculer la dérivée, d'établir les conditions pour que cette dérivée s'annule 2 fois, et que pour ces deux abscisses, le produit des ordonnées est strictement négatifs (les calculs sont très simples et je trouve le même résultat qu'au message #7).