"quotientage"

[invitefa636c3d]

bonjour,

j'ai une petite question d'algebre:

on considere K=Q[isqrt(5)] et son anneau d'entiers A=Z[isqrt(5)] qui n'est pas factoriel...

on considere aussi l'ideal I=(2, 1+isqrt(5)) de A

on a montré que I est maximal en regardant A/I mais je ne comprends pas toute la demo:

on a dit: A/I=Z[X]/(X²+5,2,1+X) (ok)

= F2[X]/(X²+5,1+X) (pourquoi pas)

= F2/(6) (pas compris!!)
=F2 (ok)

merci de votre aide
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[inviteca3a9be7]

Salut James,


X²+5 = (X+1)(X-1) + 6

pgcd (X²+5, X+1) = 6 donc

[inviteca3a9be7]

Qu'est ce que j'ai raconté ... ??

Oublie James !

[invite35452583]

on a dit:
A/I=Z[X]/(X²+5,2,1+X) (ok)

= F2[X]/(X²+5,1+X) (pourquoi pas)

= F2/(6) (pas compris!!)
=F2 (ok)

Bonjour,
passage de la première à la deuxième ligne :
théorèmes (moins évidents qu'il n'y paraissent mais certainement montrés en cours)

et quand I idéal de A.

Dans , (X+1)²=X²+5
donc A/I iso à lui-même isomorphe à
En s'y prenant autrement (comment?) on peut tomber sur le quotient par (6).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefa636c3d]

salut µµtt...

homotopie: j'ai compris le passage de premiere à la deuxieme ligne mais je ne vois toujours pas comment on passe de F2[X]/(X²+5,1+X) iso à F2/(6)

jameso

[GuYem]

Salut.

Bon en fait je crois que le dernier passage qui te pose problème se voit aussi bien sans l'intermédiaire F2/(6).

En effet F2[X]/(X²+5,1+X) ça veut dire que tu prends F2[X] et que dedans tu mets X+1=0 (ie X=1) et X²+5 = (X+1)² = 0 (ie encore X=1), donc ça fait F2 et pis c'est tout.

[invitefa636c3d]

merci Guyem ,je pense que j'ai compris comment ça marche grosso modo;
reste un petit détail pourquoi X²+5=(X+1)² ?
j'aurai dit X²+5=X²-1=(X+1)(X-1) mod 2 donc X=1...
mais je me trompe peut-être ...

jameso

[invite35452583]

'Re'bonjour,
"Chez" , 2=0
(X+1)²=X²+2x+1=X²+1=X²+1+4=X²+ 5

Cordialement

[invitefa636c3d]

ok cette fois ci c'est bon ...

merci à tous
jameso

[invite35452583]

'Re'bonjour,
euréka!
(X²+5,X+1)=(X+1,6) dans Z (pourquoi ne pas travailler dans F2???)
En effet, X²+5=X(X+1)-(X+1)+6
K[X]/(X+1) iso à K[X]/(X) iso à K pour K=Z ou F2.

Cordialement

[GuYem]

merci Guyem ,je pense que j'ai compris comment ça marche grosso modo;
reste un petit détail pourquoi X²+5=(X+1)² ?
j'aurai dit X²+5=X²-1=(X+1)(X-1) mod 2 donc X=1...
mais je me trompe peut-être ...

jameso

Salut.

N'oublie pas que dans Fp l'application x |-> x^p est additive, c'est important. Du coup (x+1)² = x²+1² = x+1

[invite37f01ff2]

C est magnifique j y comprend rien

[GuYem]

C est magnifique j y comprend rien

?

Pourquoi tu dis ça ? Tu devrais comprendre ?