Bonjour,
Je me pose une question sur les fondements de la théorie de la mesure :
Il parait qu'il est impossible, en général, de définir une mesure sur l'ensemble des partis d'un ensemble. Alors, on ne prend qu'une partie de l'ensemble des parties, une tribu, et là, on peut définir une mesure.
Mais l'ensemble des parties est une tribu !
Il y a quelque chose qui m'échappe.
J'attends vos avis.
Merci.
Peux tu donner un lien sur ce probleme avec l'ensemble des parties?
mmm... Vous, vous êtes un peu égaré. Votre question devrait être posée dans le forum mathématique et je pense qu'elle y sera redirigée. Je prends le risque de répondre quand même avec un cas particulier, celui de l'ensemble des réels (en faisant appel à d'assez vieux souvenirs, donc bon, à vérifier quand même). On peut définir sur IR, la tribu, dite tribu Borélienne, engendrée par les ouverts de IR (la plus petite tribu contenant les ouverts de IR). On peut définir une mesure sur cette tribu, la mesure dite de Lebesgue. Elle passe par la définition de la mesure d'un segment comme sa longueur.Envoyé par elzeardbouffier
La mesure d'un Borélien peut alors se définir comme la borne supérieure de la somme des longueurs de segments ouverts disjoints dont la réunion est incluse dans le Borélien en question. On peut ensuite définir les mesurables comme des parties M de IR dont la borne inférieure de la mesure des Boréliens B1 qui le contiennent est égale à la borne supérieure des Boréliens qui sont inclus dans M.
Les mesurables forment la plus grande tribu, contenant la tribu Borélienne, à laquelle il soit possible d'étendre la mesure de Lebesgues. Si on essaie d'augmenter cette tribu, en passant, par exemple, à l'ensemble des parties de IR, on tombe sur des parties de IR pour lesquelles la mesure dite extérieure (la mesure extérieure d'une partie de IR est la borne inférieure des Boréliens contenant cette partie) n'est pas additive. La somme des mesures extérieures de telles parties disjointes peut être supérieure à la mesure de leur réunion (les Boréliens ne parviennent pas à "séparer" correctement ces deux parties).
On peut procéder à une construction plus abstraite mettant en évidence les propriétés que l'on attend de la mesure dans IR (invariance par translation dans IR et par isométrie dans IR^n. Cela donne lieu à une seule mesure possible (et à la tribu des mesurable qui lui est associée) à un coefficient multiplicateur près qu'on fixe en attribuant la valeur 1 au "cube" de côté 1 dans IR^n).
Wikipédia, même en français, me semble donner de bonnes indications sur ce sujet (j'ai jeté un coup d’œil rapide en lisant une phrase par ci par là et ça m'a fait bonne impression, mais un prof de math aura peut-être un point de vue plus critique).
Bonjour,
Cela dépend du cardinal de ton ensemble, s'il est dénombrable ou fini, il n'y a pas de problème.
Par contre quand tu as un cardinal de R on utilise des sous ensembles de l'ensemble des parties de R, la tribu de Lebesgue par exemple, (formés par la réunion et intersection dénombrable d'intervalles de R).
Car il existerait (d'après l'axiome du choix des parties de R non mesurable).
Je ne peux pas donner de lien parceque je ne sais pas me servir d'un ordinateur. Mais j'ai trouvé ça dans les introduction du cours de normale sup de Jean François Legall et dans un cour de Villani.
Mais je vais reposer la question dans le forum de maths, effectivement, je me suis trompé .
Merci
Bonjour,
Dans les cours de théorie de la mesure on nous dit que si E est un ensemble, alors en général, on ne peut pas définir une mesure P(E), mais qu'on peut en définir une sur une tribu (incluse dans P(E)). Or P(E) est une tribu !
C'est contradictoire.
Merci de m'expliquer ça.
Difficile d'expliquer ça, car on peut toujours définir des mesures sur P(E) . Par exemple la mesure nulle.
Il y a sans doute quelque chose qui a été mal expliqué, en tout cas que tu n'as pas compris. On utilise des tribus pour plusieurs raisons :
* souvent, on n'a pas besoin de mesurer n'importe quelle partie.
* Des mesures très classiques, comme par exemple celle des intervalles de réels, peuvent se prolonger à certaines tribus (Tribu de Borél, Tribu de Lebesgue) mais pas à toutes les parties
* ...
La deuxième raison est peut-être celle qui a été exposée.
Cordialement.
hoho, j'ai le le début du cours de Villani, et j'ai aussi été interpellé par ce fait là.
Mais finalement, il ne parle pas d'une mesure quelconque mais d'une mesure invariante par rotation et translation et qui donne le volume habituel pour les cubes.
On pourrait très bien avoir la mesure nulle ou la "counting measure" qui serait infini pour tout sous-ensemble infini.
C'est à dire la mesure de Lebesgue dans R^n, définissable sur la tribu borélienne et pouvant être étendue (de la façon précisée dans mon message) à la tribu des parties de R^n dites mesurables .
Salut,
Pas seulement. Pour R et R² il existe des mesures couvrant toutes les parties. Mais pour R³ non (d'où le paradoxe de Banach-Tarski fort connu). Dans ce cas, la tribu ou le clan correspond toujours à un sous -ensemble strict de l'ensemble des parties.
Elzardbouffier,
C'est vraiment une question de math, pas de physique. Si tu n'as pas toutes les réponses nécessaires, je peux si tu le souhaites déplacer ce fil en math du supérieur où tu auras certainement plus d'explications précises de la part de nos génials matheux.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Merci, j'ai déjà reposé la question dans le forum de maths. Mais puisqu'on y est :
Peut-on dire la chose suivante :
Dans le cas où E=R^n :
On ne peut pas poser n'importe quelle mesure sur P(E), en particulier on ne peut pas poser une mesure pour la quelle la mesure des pavés seraient leur volume. Alors, on prend la tribu borellienne.
Mais dans le cas général, où on ne spécifie rien sur E, alors, qu'est-ce qu'on peur dire ?
Merci
Donc, sur P(R^n) on peut toujours définir une mesure si on ne lui impose rien. Si on lui impose de donner le volume des pavés, alors c'est impossible sur P(R^n). Donc on prend la tribu borellienne et ça devient possible.
Mais si on prend à la place de R^n un ensemble quelconque, alors que peut-on dire ? Pas grand chose, j'ai l'impression. Et le problème ne semble se poser que pour R^n ? Non ?
Non,
le problème ne se pose pas que pour R^n.
La bonne question n'est pas "peut-on définir une mesure sur X ?" dont la réponse est"oui", mais "peut-on définir une mesure utile sur X ?". Et ceci dans le cadre d'une problématique liée à la mesure.
Par exemple on aimerait bien disposer d'une probabilité (mesure positive de masse totale 1) pour définir simplement la densité des nombres premiers. Pour cela il faudrait une équiprobabilité. Ce n'est pas possible.
Cordialement.
Bonjour,
Pourriez-vous être plus précis : citer le verbatim d'un de ces cours par exemple ...
On peut supposer que "On peut définir" n'est pas la même chose que "Il existe".
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Il l'a fait sur un autre forum.
Il y a effectivement un texte très imprécis, et un autre qui ne dit pas ça, mais parle de mesure "utile".
Cordialement.
Merci, encore un qui fait perdre sont temps à des bénévoles en multipliant les demandes sur différents forums : je garde ma réponse (différente de ce qui a été dit sur l'autre forum) pour moi !
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Fusion de deux discussions. Je laisse les collègues physiciens faire les nettoyages qui s'imposent.
Rien ne sert de penser, il faut réfléchir avant - Pierre Dac
Bon, merci,
Je pense que j'ai à peu près compris.
Merci à tous
