Morphisme de corps non injectif

[zaskzask]

Bonjour

J'ai deux petites questions :
1)Je lis un peu partout qu'un morphisme de corps est injectif. Mais en fait, L=({0},+,x) est un corps, non? Alors si je prends f:K->L avec K un corps, on a Ker(f)=K, ce qui joue, puisque K est aussi un idéal de K.
2)Si je considère l'homomorphisme d'anneaux Z->Z/3Z.
J'ai 1=f(x)=f(1_A+...+1_A)=f(1_A)+...+f(1_A)=1_B+...+1_B=x donc x=1. Mais f(1)=f(4)=1, donc il y a quelque chose qui joue pas dans mon raisonnement (j'ai l'impression que j'ai donné le nom x à deux choses différentes).
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[Seirios]

1)Je lis un peu partout qu'un morphisme de corps est injectif. Mais en fait, L=({0},+,x) est un corps, non? Alors si je prends f:K->L avec K un corps, on a Ker(f)=K, ce qui joue, puisque K est aussi un idéal de K.

Ce n'est généralement pas considéré comme un corps, parce que les éléments neutres pour l'addition et le produit sont identiques. D'ailleurs, c'est le seul cas qui peut poser problème, puisque pour tous morphisme de corps et , on a .

2)Si je considère l'homomorphisme d'anneaux Z->Z/3Z.
J'ai 1=f(x)=f(1_A+...+1_A)=f(1_A)+...+f(1_A)=1_B+...+1_B=x donc x=1. Mais f(1)=f(4)=1, donc il y a quelque chose qui joue pas dans mon raisonnement (j'ai l'impression que j'ai donné le nom x à deux choses différentes).

Ton résultat est égal à la réduction de x modulo 3.

[zaskzask]

D'accords.

J'ai encore une chose qui me tracasse en algèbre. Quand on définit un polynôme, on dit , mais pour moi on devrait dire où E et F représente l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée de la fonction polynôme. Car ce n'est pas le même polynôme si on a d'autre espaces de départ et d’arrivée, non?

[Tryss]

Attention a ne pas confondre un polynôme avec ses fonctions polynôme associée... C'est subtil, mais il y a une différence dans la nature des objets.

Un polynôme n'est donc pas une fonction (même si on fait souvent la confusion entre le polynôme et sa fonction polynôme associée)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Pour appuyer ce que dit Tryss, tu peux considérer le polynôme : c'est un polynôme non trivial mais identiquement nul en tant que fonction.

[zaskzask]

Ok,

Je me suis un peu renseigné sur les polynômes et les choses deviennent de moins en moins clair.
si formellement un polynôme est une suite finie (a0,a1,a2,...,an,0,0,...) et X⁰=(1,0,0,...) et X¹=(0,1,0,0,...), etc...
alors quand on parle d'évaluation d'un polynôme ev_b c'est une fonction qui prend un polynôme ou une fonction polynômiale? De même quand on parle d'une racine, c'est une racine du polynôme ou de la fonction polynômiale? D'autre part, si a est un scalaire, P(a) signifie quoi? Ca signifie qu'à présent on a définit a⁰=(1,0,0,...), a¹=(0,1,0,0,...). Enfin, tout cela n'est pas trop trop clair. Peut être conaissez-vous des pdf ou c'est bien expliqué aussi?

[minushabens]

D'autre part, si a est un scalaire, P(a) signifie quoi? Ca signifie qu'à présent on a définit a⁰=(1,0,0,...), a¹=(0,1,0,0,...).

tu peux assimiler a au polynôme constant a=(a,0,0,...) mais ça n'a pas tellement d'intérêt, en tout cas ça ne t'aidera pas à calculer P(a). Si P=(a0,a1,...,an) P(a) = a0+a1*a+...+an*a^n, mais ça tu le savais.

je pense que tu peux oublier les fonctions polynômiales si elles te traumatisent, elles n'interviennent pas beaucoup dans l'étude des polynômes.

[zaskzask]

Je comprends mieux,

Du coup, à la page 3 de cet article (http://mapage.noos.fr/r.ferreol/atel.../polynomes.pdf) quand l'auteur parle de

résultat de la substitution de x à l’indéterminée

, ce n'est pas d'une fonction, non? (En effet, sur quel ensemble de départ et d'arrivée serait-elle définie?)

[minushabens]

Il est pas terrible ton cours de polynômes... déjà pourquoi prendre K=R ou C? Pourquoi ne considérer que des polynômes sur un corps? essaie de te trouver le livre de Godement par exemple (mais il y en a bien d'autres).

quoi qu'il en soit, par "substitution de x à l'indéterminée" il entend le calcul de P(x), c'est un élément de l'anneau dans lequel se trouve x (dans le cadre de ce cours).