Morphisme de corps

[invite5e148d1e]

Salut tout le monde,
On m'a proposé un exercice où je dois démontrer la proposition dans un morphisme de corps de
Voici ma démonstration, je voudrais bien savoir si elle est correcte.
Soit et alors admet un inverse dans K et on a:

ce qui n'existe pas puisque le 0 n'admet pas d'inverse. Donc n'admet pas d'image par f
Et comme tout élément dans K admet une image par l'homomorphisme f alors n'appartient pas à K.
Ce qui contredit la première proposition et qui montre que

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[Seirios]

Bonjour,

Si tu travailles dans un corps quelconque, on note généralement . Sinon, ton argument est correct (même si je ne le trouve pas très bien rédigé). Tu peux également obtenir une contradiction avec .

[invite179e6258]

Tu peux aussi écrire que si f(z)=0 avec z non nul, alors f(1)=f(zz^{-1})=f(z)f(z^{-1})=0 or on veut f(1)=1.

edit : c'est la même chose que ce que dit Seirios

[Médiat]

c'est la même chose que ce que dit Seirios

En moins lisible puisque sans utiliser Latex

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite179e6258]

c'est que je lis le tex dans le texte, je n'ai plus besoin de le compiler.

[invite179e6258]

Sinon il y a une démonstration en apparence différente : (en supposant K commutatif pour simplifier) si Z est l'ensemble des z tels que f(z)=0 (le noyau de f) alors c'est facile de voir que Z est un idéal de K. Or les seuls idéaux de K sont {0} et K. Mais f(1)=1 donc Z n'est pas K. La différence n'est qu'apparente parce que pour montrer que les seuls idéaux de K sont {0} ou K on doit faire un raisonnement du même type que pour la preuve précédente.

[Médiat]

Bonjour,

Ce que je trouve intéressant dans cet exercice, c'est que les définitions syntaxiques d'un morphisme entre corps ou entre anneaux sont les mêmes, et on constate ici que non seulement l'existence d'un morphisme entre deux structures dit des choses sur ces structures, mais le contraire est aussi vrai, les spécificités des structures (celle de départ plus particulièrement) disent des choses sur le morphisme (le résultat démontré ici pour les corps est faux s l'ensemble de départ est un anneau).