Puissances d'un morphisme

[Turgon]

Bonsoir à tout le monde.

En pleine rédaction d'une petite étude de quelques résultats de cours, je peine à démontrer la vérité ou la fausseté de l'énoncé suivant:

Soit un corps et un morphisme de corps. Il existe un entier supérieur à tel que .

Le peu de morphismes de corps que je connais respecte cette propriété. Je voudrais savoir si je peux la généraliser à tous les morphismes de corps ou si je dois pour la suite ajouter comme hypothèse la propriété que l'énoncé attribue à f.

Si vous avez des pistes de réflexions, un contre-exemple ou même une démonstration, je vous en serais reconnaissant ^^.

Merci d'avance et bonne soirée ^^.
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[Médiat]

Il me semble que l'application sur le corps de fraction défini par se prolonge en un morphisme de corps qui ne vérifie pas .

[Turgon]

Bonjour!

J'ai bien l'impression que vous avez raison si par exemple on pose et pour tout , , ,..., .

Mais il me faudrait confirmation ^^. En tout ca, je n'avais pas pensé aux extensions de degré infinie des corps usuels, que je connais mal.

Je me demande du coup si pour un corps dont tout les "endo"-morphismes vérifient la propriétés, (par exemple ) on pourrait prouver pour toute extension de degré fini ( c'est-à-dire exit le générateur infini que vous utilisez) que ses morphismes vérifient de même la propriété. A voir...

Merci pour votre aide en tout cas.

[Médiat]

En tout ca, je n'avais pas pensé aux extensions de degré infinie des corps usuels, que je connais mal.

Attention, cela ne marche pas avec les extensions algébriques (en tout cas pas toujours (on peut, peut-être trouver quelques cas tordus (limites de l'union d'extensions imbriqués de degré croissant)), c'est pourquoi j'ai pris une extension transcendante avec le corps des fractions rationnelles.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Turgon]

Attention, cela ne marche pas avec les extensions algébriques

Bonne remarque, par exemple est extension de degré infinie de mais respecte la propriété tout comme lui.
Pour un corps respectant la propriété, vous avez montré qu'une extension de degré infini et transcendante ne respecte pas forcément la propriété. Donc, il y a deux questions à se poser:

- Une extension de degré finie la respecte-t-elle?

- Une extension algébrique (ou un corps de rupture) la possède-t-elle?

Pour le corps de rupture, c'est facile de répondre, il suffit de reprendre votre exemple en mettant à la place d'un des éléments du générateur.

On peut apporter une réponse partielle pour l'extension de degré finie.
Il est tout d'abord facile de montrer qu'un corps ayant un nombre fini de morphisme dans lui-même respecte la propriété (ce qui est le cas de beaucoup des corps usuels).
De là sachant qu'une extension de degré finie possède aussi un nombre fini de morphismes dans lui-même, cela prouve le résultat dans ce cas.

J'ai bon espoir que la propriété soit conservé dans une extension de degré finie. Pour l'extension algébrique en revanche, je n'ai pas de piste solide ^^.