Egalités de nombres complexes à résoudre

[inviteadd43897]

Bonsoir à tous,

J'ai un devoir maison à finir et je bloque sur un exercice. Quelqu'un sait comment résoudre le problème suivant ?

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a,b et c sont trois nombres complexes tels que :

norme(a)=norme(b)=norme(c)=1 et a+b+c=0

Prouvez que a^3=b^3=c^3
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Merci d'avance pour toutes réponses,
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[invite7265fdfc]

bonjour,

j'ai une idée, mais je n'ai pas vérifié ...
si ça peut vous aider ... mais c'est peut-être faux!
ça m'a fait penser aux racines de l'unité, d'où ce qui suit, (non rédigé!)

a, b et c sont sur le cercle trigo

a+b+c=0
a+b=-c
|a+b|=|-c|=1
fixons a à 1 , il n'y a pas bp de solutions pour que a+b soit sur le cercle trigo (je le vois sur un dessin) : b=e^2ipi/3 ou ...
et c alors ne peut être que e^4ipi/3
bref ce sont les 3 racines de l'unité ; élevées à la puissance 3 elles donnent 1
si a différent de 1 , même chose, sauf que tout est tourné , mais on aura toujours b=a.e^2ipi/3 et c=a.e^4ipi/3

et ce beau monde à la puissance 3 donnera a^3