equation a résoudre (complexes)

[invitef6dc9c06]

Bonjour,

J'ai une équation à résoudre et j'aimerais savoir si je part dans le bon sens, voila l'énoncé :

Résoudre l'équation suivante, en donnant les racines sous forme de module et argument :

x⁶ - 2x³*cos(θ) + 1 = 0
avec (0<θ<PI)

Donc je suis partie en possant x = p(cos(β)+isin(β))
J'ai ensuite utiliser moivre pour supprimer les puissances et j'ai utiliser cos(a)*cos(b)=1/2(cos(a+b)+cos(a-b))
sin(a)*cos(b)=1/2(sin(a+b)+sin(a-b))
pour linéarisé le tout.

Je suis tombé sur une équation de ce type :
p³(p³(cos(6β)+isin(6β))-cos(3β+θ)-cos(3β-θ)-sin(3β+θ)-sin(3β-θ)+1/p³)=0

Donc la je bloque un petit peu, p ne peut pas valoir 0 car sinon 1/p³ n'est pas juste.

Est ce que j'ai utiliser la bonne méthode ou non?
Faut t'il utiliser Euler?

Je vous remercie d'avance pour vos conseils ou réponse
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[invite03f2c9c5]

Bonjour,

Ne pourrais-tu pas commencer par remarquer que ton équation de départ peut être vue comme une simple équation de degré deux, en effectuant un changement d'inconnue ?

[invitef6dc9c06]

Donc si on pose X = x³

Je trouve (X+1)(X²+(-2cos(θ)-1)x+1)=0
donc X=-1 ou X²+(-2cos(θ)-1)x+1=0

et la je trouve delta = 2(cos(2θ)+2cos(θ)-1)

Il faut que j'étudie cos(2θ)+2cos(θ) pour savoir si delta est positif ou négatif?

[invite03f2c9c5]

C'est le bon changement d'inconnue, mais je ne vois pas du tout ce que tu fais après. Tu sembles écrire une équation mélangeant X et x ? Alors que tu dois obtenir une équation très simple qui ne porte que sur la nouvelle inconnue X.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef6dc9c06]

C'est que des grand X en fait donc j'ai essayer d'utiliser
(X+1)(aX²+bX+c)=X³-2Xcos(θ)+1

Donc j'ai trouver (X+1)(X²+(-2cos(θ)-1)X+1) = X³-2Xcos(θ)+1

Et maintenant je cherche quand X+1=0 ou X²+(-2cos(θ)-1)X+1=0

C'est la bonne méthode?

[invite03f2c9c5]

Étourderie ? Si , alors .

[invitef6dc9c06]

Ok j'ai vu mon erreur , c'est vrai que sa a simplifier pas mal

J'ai donc trouver delta = 4*(cos(θ)²-1) donc delta négatif

et x1 = cos(θ) + i√(cos(θ)²-1) , x2 = cos(θ) - i√(cos(θ)²-1)
Donc |X| = √(2cos(θ)²-1)
Arg(X) = arctan (√(cos(θ)²-1)/cos(θ))

Ensuite pour trouver le module et l'argument de x il faut faire |X|³ et Arg(X)³?

[invite03f2c9c5]

Écrire lorsque est un réel strictement négatif, c'est mal.

Par ailleurs, , cela se simplifie… S'il n'y avait qu'une seule formule de trigonométrie à connaître, ce serait laquelle ?

[invitef6dc9c06]

Ok donc :
Delta = -4 * sin(θ)²

Peut t'on écrire x = [2cos(θ) + i√(-4sin(θ)²)]/2 ?

Vous venez de dire Écrire √delta lorsque delta est un réel strictement négatif, c'est mal.

Donc je suppose qu'on ne peut pas écrire x sous cette forme, mais je voit pas comment faire

[breukin]

Une racine de –4, ça vaut combien ?

[invitef6dc9c06]

Ok donc je pense avoir répondu à ma question on utilise |Δ| donc on obtient
X1 = cos(θ) + i sin (θ)
X2 = cos(θ) - i sin (θ)

Le module serait |X| = √(cos(θ)²+sin (θ)²)
Argument = θ

Donc pour x :
|x| = (cos(θ)²+sin (θ)²)^3/2 et Arg(x) = θ³

Voila dites moi si je me suis tromper

[invite03f2c9c5]

Ok donc je pense avoir répondu à ma question on utilise |Δ| donc on obtient
X1 = cos(θ) + i sin (θ)
X2 = cos(θ) - i sin (θ)

Correct.

Le module serait |X| = √(cos(θ)²+sin (θ)²)
Argument = θ

Certes, mais… on ne peut tout de même pas laisser le module ainsi sans rien remarquer et simplifier !

Donc pour x :
|x| = (cos(θ)²+sin (θ)²)^3/2 et Arg(x) = θ³

Euh… tu devrais revoir ton cours sur les propriétés de l'argument.

[invitef6dc9c06]

On s'approche du but ...
|X| = 1
Arg(X) = θ

|x| = 1
Arg(x) = 3θ

En fait le problème c'est que je post trop vite et je me rend compte après que je me suis trompé mais je peux pas éditer

Donc je pense que la sa doit être bon?

[invite03f2c9c5]

On s'approche du but ...
|X| = 1
Arg(X) = θ

|x| = 1
Arg(x) = 3θ

En fait le problème c'est que je post trop vite et je me rend compte après que je me suis trompé mais je peux pas éditer

Donc je pense que la sa doit être bon?

Ok pour le module, qui vaut 1 pour comme pour . En revanche, si l'argument de est bien , celui de est différent.

Ensuite, en revenant à , tu devrais trouver solutions (ce qui est cohérent avec le fait qu'on ait affaire à une équation de degré six). En effet, chaque valeur de te donne trois valeurs pour (à un multiple entier de près).

[invitef6dc9c06]

J'ai pas compris ce que vous m'avez dit à propos de l'argument de X2?

Donc l'argument de X1 = θ
L'argument de X2 = 3 * θ ou je me suis trompé?