Bon ordre sur Q

[inviteddf1a92e]

Bonjour,

J'ai lu que l'on pouvait établir un bon ordre sur Q, le cas échéant peut-on établir ce bon ordre avec < "classique" ou faut-il définir une relation d'ordre ad hoc ?
Formulé autrement considère-t-on qu'il existe un plus petit élément pour (Q*+,<) ?

Merci
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[Seirios]

Bonjour,

La relation d'ordre usuelle sur les rationnels n'est pas un bon ordre : l'ensemble des rationnels strictement positifs n'a pas de plus petit élément, puisque pour tout candidat , on a .

Une manière (artificielle) de définir un bon ordre sur est de se donner une bijection , puis de définir si , avec l'ordre usuel sur , qui lui est un bon ordre.

[inviteddf1a92e]

Merci Seirios.

Alors Q perd aussi sa densité si il est muni d'un bon ordre ?
Est-ce vraiment le même ensemble ?

[Médiat]

Bonjour,

Un bon ordre n'est pas dense (cf. la définition)

Si c'est bien le même ensemble, mais ce n'est pas la même structure

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9dc7b526]

Est-ce qu'un bon ordre sur Q se prolonge en un bon ordre sur R?

[Médiat]

Oui, puisque où est un ordinal infini non dénombrable et un ordinal dénombrable

[Médiat]

Bonjour, d'ailleurs la seule partie utile est que la somme de 2 ordinaux est un ordinal .