Espace prehilbertiens réels

[invite625b63d0]

Bonjour tout le monde, étant confronté à un problème, je tiens donc à avoir un éclaircissement la dessus , voici l'énoncé :

On considère R4 muni de sa structure euclidienne canonique et F le sous-espace vectoriel de R4 défini par
F ={(x,y,z,t)∈R4 |x+y+z+t=x−y+z−t=0}
a) Déterminer une base orthonormale du supplémentaire orthogonal de F

Le corrigé de cette question est (du moins une partie car l'autre est comprise):

a)SoientH={(x,y,z,t)∈R4 |x+y+z+t=0} et
K ={(x,y,z,t)∈R4 |x−y+z−t=0}
On a F = H ∩ K puis F⊥ = H⊥ + K⊥.

Je suis bien d'accord avec "F = H ∩ K"
Mais comment peut on dire que "F⊥ = H⊥ + K⊥."
????

Merci de votre réponse
Cordialement YuuX
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[invite625b63d0]

Pour ce qui est de la réponse de la question a), je l'ai traité d'une autre manière mais je tombe pas exactement sur la même chose, est-ce ma méthode convient :

- d'après les deux équations j'en déduis que (x,y,z,t) = z(-1,0,1,0) + t(0,-1,0,1) , avec e1=(-1,0,1,0) et e2=(0,-1,0,1) , je trouve de plus que e1 et e2 sont libres donc une base de F peut être :
B = (e1,e2)

Je remarque ensuite que (e1|e2)=0 et donc qu'ils sont orthogonaux.
D'après le théorème de la base incomplète j'ajoute à ces deux vecteurs, les vecteurs e3=(0,1,0,0) et e4=(1,0,0,0) . De ce fait la famille (e1,e2,e3,e4) est libre (méthode du pivot sur les colonnes).

Avec le procédé de Schmidt je trouve les vecteurs orthogonaux correspondant à e3 et e4 qui sont respectivement e3'=(0,1/2,0,1/2) et e4'=(1/2,0,1/2,0)

Enfin je normalise ces vecteurs en trouvant que leur normes vaut 1/sqrt(2) d'où :
B'=(sqrt(2).e3' , sqrt(2).e4') est une base du supplémentaire.

Dites moi si ce raisonnement est juste, le problème étant que je ne trouve pas le même résultat (du moins je pense) qui est le suivant :

e3 = (1/2,1/2,1/2,1/2)
e4= (1/2,-1/2,1/2,-1/2)

Help svp

Cordialement Yuux