(TIPE) la théorie de zermelo freakel

[invite153e671e]

j'ai beaucoup cherché à propos des axiomes de zermelo freakel mais je trouve un probléme de simplifier les choses pour les expliquer dans mon TIPE , j'aimerais que je trouve des exemples pour relier toutes les axiomes avec la réalité ...
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[Médiat]

Bonjour,

Première étape : il s'agit de Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo et de Abraham Adolf Halevi Fraenkel.

Merci de les respecter !

Quant à simplifier des axiomes, surtout ceux-là, cela va être très difficile, dans le meilleur des cas vous pouvez donner des exemples pour les plus simples (axiomes de la paire ou d'extensionalité, par exemple).

En tout état de cause, la première démarche que vous devez entreprendre est de bien comprendre vous-même sans aucune simplification.

Vous pouvez toujours revenir ici poser des questions précises.

[invite153e671e]

je m'excuse pour les fautes de frappe .
oui vous avais raison , pour l'Axiome d’extensionalité ,Axiome de la paire ,Axiome de la somme ,Axiome de l’ensemble des parties c'est presque intuitive mais pour schéma d'axiomes de substitution en particulier le schéma d’axiomes de compréhension je les ai compris mais j'arrive pas à les expliquer ,et pour l'axiome de fondation je l'ai pas compris

[Médiat]

pour l'Axiome d’extensionalité ,Axiome de la paire

Ceux-là sont vraiment simple.

Axiome de la somme

Aussi connu sous le nom "Axiome de la réunion" qui me paraît un nom plus intuitif.

Axiome de l’ensemble des parties

Attention, cet axiome est bien moins intuitif qu'il n'y paraît.

schéma d'axiomes de substitution en particulier le schéma d’axiomes de compréhension je les ai compris mais j'arrive pas à les expliquer

En gros : on peut définir un sous-ensemble à l'aide d'une formule, mais on ne peut pas le faire si on ne précise pas l'ensemble dans lequel ce sous-ensemble est inclus. Exemple remarquable : le paradoxe de Bertrand Russell.

l'axiome de fondation je l'ai pas compris

La vision la plus intuitive de comprendre cet axiome (mais de façon incomplète) est qu'il ne peut exister de boucle dans la relation d'appartenance (, et donc on ne peut avoir par exemple).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite153e671e]

merci beaucoup

Ceux-là sont vraiment simple.


En gros : on peut définir un sous-ensemble à l'aide d'une formule, mais on ne peut pas le faire si on ne précise pas l'ensemble dans lequel ce sous-ensemble est inclus.
(, et donc on ne peut avoir par exemple).

est ce parce que l'ensemble de tous les ensembles n'existe pas?

[Médiat]

C'est dans l'autre sens, plus précisément : sans l'axiome de compréhension, on aboutit à un paradoxe (basé sur l'ensemble de tous les ensembles), avec l'axiome de compréhension, on peut démontrer que l'ensemble de tous les ensembles n'existe pas.

Si vous pensez avoir compris l'axiome des parties, exprimez-le en français ...

[invite153e671e]

l'axiome des parties : A tout ensemble, on peut associer un ensemble
de l’univers qui contient exactement les parties ( les sous-ensembles)
du premier.(c'est ce que j'ai écrit dans mon TIPE)

[Médiat]

l'axiome des parties : A tout ensemble, on peut associer un ensemble
de l’univers qui contient exactement les parties ( les sous-ensembles)
du premier.(c'est ce que j'ai écrit dans mon TIPE)

Je me doutais que vous écririez cela et sans aller jusqu'à dire que c'est complètement faux, c'est en tout cas le meilleur moyen de ne pas comprendre la théorie des ensembles (et d'une façon générale, la logique mathématique), je vous propose une autre formulation (en reprenant votre phrase au plus près) :

Pour tout ensemble, il existe un ensemble de l’univers qui contient exactement les ensembles qui sont des parties ( des sous-ensembles) du premier.

[invite153e671e]

je serai très reconnaissante si vous pouvez me dire où réside exactement le problème parce que j'ai pas vu la différence entre les deux phrases

[Médiat]

C'était fait exprès

La nuance, très importante, est qu'il y a une différence colossale entre "Toutes les parties de E" où "Toutes" est pris dans son sens intuitif, et "Toutes les parties de E" où "Toutes" est pris dans un sens formel, et comme ces deux phrases sont identiques, il faut trouver une formulation qui fait la différence, et pour en comprendre les subtilités, vous devez abandonner l'idée intuitive, mais fausse, que tout "paquet" de n'importe quoi est un ensemble au sens formel, le plus bel exemple est "l'ensemble de tous les ensembles n'est pas un ensemble" où le premier "ensemble" est à prendre au sens intuitif, et le dernier au sens formel (le deuxième peut être pris dans les deux sens).

Pour revenir sur l'axiome des parties, il faut comprendre qu'il y a des sous-ensembles (d'un ensemble donné) au sens intuitif qui ne sont pas des ensembles au sens formel.

[invite153e671e]

par formel ,vous voulez dire au plus dénombrable ?

[Médiat]

Non, pas du tout, je veux dire dans le sens purement mathématique ; mais il y a quand même un rapport avec l'infini (dénombrable ou non) : Pour un ensemble fini il est facile de donner la liste de "tous" ses sous-ensembles et les notions intuitives et formelles coïncident, mais dès que l'ensemble est infini, ce n'est plus possible.

[invite153e671e]

merci infiniment pour ton aide ,je vais me renseigner encore sur les mathématiques formelles, en espérant que vous pardonnerez mon ignorance, mais pour moi,c'est un nouveau champ

[Médiat]

je vais me renseigner encore sur les mathématiques formelles

N'hésitez pas à posez vos questions ici.

en espérant que vous pardonnerez mon ignorance

Personne n'a à vous pardonner quoi que ce soit, la seule chose que nous pouvons faire, c'est vous féliciter de vouloir comprendre