Reste modulo

[invite69d45bb4]

Bonjour

déterminer le reste de 150^789 modulo 13.

j'aurais bien envie de commencer par 789/13 mais après je ne vois pas comment faire.

merci d'avance pour vos réponses.

Cordialement
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[invite69d45bb4]

150=11×13+7 donc 150=7 (13) de plus 789=13×60+9 donc 789=9 (13) mais je n'arrive pas à conclure

[gg0]

Tu as quand même pas mal de règles mathématiques utilisables (propriétés des congruences, propriétés des puissances). Donc tu as des moyens de faire cet exercice ...

[invite69d45bb4]

Si j'ai bien compris j'ai 150^789=7^9 (13) donc le reste est 7^9?ça me parais étrange.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Quelles règles as-tu appliquées ? J'ai l'impression que tu ne le sais pas vraiment, et que tu as utilisé une propriété fausse.

Et c'est quoi, "le reste" ?

[gg0]

Depuis le temps que tu fais des exercices d'arithmétique, tu devrais commencer à connaître des théorème utiles et à savoir calculer avec les congruences ... Apprends-tu les règles ? Ou te contentes-tu d'imiter des corrigé d'exercices sans savoir pourquoi on a écrit ?

[invite69d45bb4]

Est ce correct ?

[invite69d45bb4]

On a bien 150=11×13+7 donc 150=7 (13) de même pour 789=13×60+9 donc 789=9 (13) donc par puissance il vient 150^789=7^9 (13) donc le reste est 7^9 ou ai je tort

[invite69d45bb4]

Où me suis je trompé?

[gg0]

Encore une fois, c'est à toi de savoir quelles règles tu appliques. En tout cas, si a =b (c) et d=e (c), alors a^d n'a aucune raison d'être congrus à b^e modulo c.
Par exemple, modulo 3
5 = 2 (3)
3=0 (3)
mais 5^3=125=2 (3) alors que 2^0=1.

Au lieu de demander "comment on fait ?" "est-ce juste ? ", "Où me suis je trompé? ", apprends les règle qui, une fois appliquées font qu'on est sûr d'avoir juste. Comme tu n'as pas répondu à ma question du message #5, je ne vois pas pourquoi je t'aiderais, tu n'as pas fait ta part du travail !

[invite69d45bb4]

Le reste est r tel que 7^n=r (13) donc 7^2=-3 (13) en effet 49+3=52=13×4 donc le reste est -3.

[invite69d45bb4]

Non le reste est positif donc 7^2=10 (13) car 49-10=39=3×13 donc le reste est 10.est ce juste cette fois ci ?

[gg0]

Reprends ton raisonnement du début en appliquant des règles que tu es capable de citer. Là tu perds ton temps.

NB : En essayant au hasard des "calculs" sans rime ni raison, tu finiras bien par tomber sur la vraie valeur, après tout il n'y a que 13 restes possibles. Mais ce n'est pas sérieux.

[invite69d45bb4]

Je reprend mon raisonnement au début 150=7 (13) et 789=9 (13) mais après du coup je vois plu

[invite69d45bb4]

On doit trouver le reste r tel que 7^n=r (13) mais je ne vois pas comment y arriver?

[invite69d45bb4]

On a 150^789=7^789 (13)

[invite69d45bb4]

Donc 150^789=7×7^788=7×7^13×60+8(13 ) Le reste est donc 8. Est ce correct?

[gg0]

Quelle règle as-tu utilisée au message #16 ?
Quelles règles as-tu utilisées au message # 17 ?

A noter 7×7^788=7×7^13×60+8 est faux (règles d'écriture des opérations, le premier membre est divisible par 7, pas le deuxième).

[invite69d45bb4]

On a 150^789=7^789 (13)

[invite69d45bb4]

7×7^(13×60+8)=7×7^788 (13)

[invite69d45bb4]

J'ai utiliser la règle sur les puissances dans les congruences en effet 150=7 (13) donc 150^789=7^789 (13)

[gg0]

Ok.

D'accord pour les messages #20 et #21.

Et ensuite ?

[invite69d45bb4]

Et ensuite 7^789=7×7^788 et après ben 8 est le reste

[gg0]

Et ensuite 7^789=7×7^788

Ok

et après ben 8 est le reste

Désolé, je ne comprends pas ... Encore une fois, quelle règle appliques-tu ?

Je crois que je vais te laisser, en plus de 10 messages, j'ai obtenu une seule fois l'énoncé d'une règle permettant de justifier un calcul. Tu ne veux pas faire des maths ? C'est ton problème, pas le mien.

[invite69d45bb4]

788=13×60+8 7^789=7×7^788=7×7^(13×60+8)(13 ) donc le reste est 8.

[gg0]

7×7^788=7×7^(13×60+8)
Même sans travailler modulo 13.
8 est le reste de 788 modulo 13, et alors ? la question est le reste de 7^789 modulo 13

789=13×60+9 donc le reste est 9 ?
789 = 7²×7^(13×60+7) donc le reste est 7 ?

Ce n'est pas parce qu'on écrit des calculs qu'on fait des maths.

[invite69d45bb4]

Là je ne vois vraiment pas qu élues ŕeglés ûtîlisees

[gg0]

As-tu des règles de cours qui parlent de puissances et de congruences ?

Nb : Relis ton dernier message !!

[invite69d45bb4]

J'ai qu'une règle avec les puissances et les congruences c'est pour tout k de Z si a=b (n) alors a^k=b^k (n).

[gg0]

Tu n'as pas dans ton cours le (petit) théorème de Fermat ?
Si ce n'est pas le cas, il ne te reste qu'à utiliser la seule règle que tu connais, en calculant progressivement les puissances modulo 13. Tu verras que certaines puissances donnent des restes intéressants.

Bon travail !