Algèbre

[invite0731164c]

Bonjour ,

J'ai lu quelque part que si A est un anneau, il existe qu'un unique morphisme d'anneau de Z->A.
Est-ce toujours vrai si on a affaire à un groupe?( Z->G : m->g^m)
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[gg0]

Bonjour.

pourquoi ne pas répondre toi-même à cette question élémentaire, en examinant des exemples ? D'autant que tu donnes quasiment la réponse en posant la question

[invite47ecce17]

Bonjour,
S'il n'existait qu'un seul morphisme de groupe de Z dans G, pour tout G, alors... la vie serait bien triste.

[invite47ecce17]

Tiens dans la liste des conséquences qu'on pourrait en tirer, y aurait notamment le fait que tout espace vectoriel (sur n'importe quel corps) est de dimension au plus 1
(ou de manière équivalente, que tout ensemble est au plus un singleton ).

(bon bien sur comme c'est faux, ca implique tout, mais je veux dire on peut directement déduire ces faits de l'assertion initiale).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0731164c]

En fait, j'étais pas trop sur que je pouvais prendre f:g->g^m pour chaque g dans G, mais il me semble que oui.

Par contre, je suis pas sur d'avoir compris pourquoi si il y en avait que un, tout espace vectoriel serait de dimension un.

Sinon, il une autre chose qui me gêne :
Si je sais que tout p-groupe (abélien fini) est isomorphe à un produit cyclique, comment en déduire que tout groupe (abélien fini) est isomorphe à un produit de groupes cycliques?