Système d'équations différentielles non linéaires

[albius21]

Bonjour,

Lors de calculs et après vérification, je suis tombé sur le système suivant :
dV/dt = -A*g*(1-B*T) - C
dg/dt = D*g*V*(1-B*t) + E*V
dT/dt = -F*[D*g*V*(1-B*t) + E*V]*(1/g)

A, B, C, D, E et F paramètres, V(t), g(t) et T(t) fonctions de t.

J'avoue être noyé et ne pas savoir comment prendre les choses, par quel bout commencer pour effectuer des simulations avec ce modèle d'urbanisme.
J'ai la méthode mais il me manque des repères.

Serait-il possible de trouver qq qui serait susceptible de pouvoir me réaliser une étude dynamique de ce modèle pour avoir une idée des valeurs prises par les fonctions. Existe-t-il un moyen de représenter graphiquement avec un logiciel comme Maple les plans de phase. J'ai cherché mais a priori, il y a un traitement possible pour des systèmes à deux équations mais pas trois.

Help !!!
-----

[inviteb6b93040]

Bonjour,

Je les ai soumise à Free Universal Algebra Equation Solver
Il n'a pas trouvé de solution.

Un modèle mathématique d'urbanisme, je n'avais jamais vue ça
C'est au moins un modèle 3D donc d'espace fonction du temps
Mais comme l'urbanisme est une utopie qui suppose que l'on s'entendent tous sur la façon de modeler l'espace dans lequel nous voudrions vivre,
pourquoi pas

[inviteb6b93040]

//on part de 3 valeurs connues V=V(0), g=g(0) et T=T(0)
	maxt=1000
	While t<maxt
	{
		dV = -A*g*(1-B*T) - C;
		dg = D*g*V*(1-B*t) + E*V;
		dT = -F*[D*g*V*(1-B*t) + E*V]*(1/g);
		g+=dg;
		V+=dV;
		T+=dT
//et on prend x=g,y=V,z=T comme les points d'une courbe 3D
		t=t+1;
	}

[invite93e0873f]

Bonjour,

Je ne pense pas pouvoir aider dans la résolution de ce problème. Cependant, je me demande s'il n'y a pas une coquille dans le système d'équations : nous y voyons un (1-B*T) et deux (1-B*t), deux quantités bien différentes. Est-ce normal ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93e0873f]

Lors de calculs et après vérification, je suis tombé sur le système suivant :
dV/dt = -A*g*(1-B*T) - C
dg/dt = D*g*V*(1-B*t) + E*V
dT/dt = -F*[D*g*V*(1-B*t) + E*V]*(1/g)

A, B, C, D, E et F paramètres, V(t), g(t) et T(t) fonctions de t.

Qu'importe la réponse à la question que j'ai posée dans mon précédent message, considérant la seconde équation, la troisième s'écrit , donc où G est une constante. Ainsi, il est possible de réduire le système à deux équations à deux inconnus.

[albius21]

oui effectivement, tu as raison il s'agit en fait dans les deux cas de 1- B*T

[inviteb6b93040]

Bonsoir,

Peut tu au moins nous dire quel est le rapport entre l'urbanisme et ce modèle et à quoi correspondent les constantes et les variables ?
Il me semble que ça nous concerne tous, je n'aimerais pas que l'on modèle mon espace sans savoir ni pourquoi ni comment

[inviteb6b93040]

oui effectivement, tu as raison il s'agit en fait dans les deux cas de 1- B*T

dans ce cas rien n'est fonction de t et quelque soit les paramètres on a toujours les même valeurs

[albius21]

Merci à tous,

J'ai finalement trouvé une personne qui pourra m'aider.

[inviteb6b93040]

Bonjour,

Peut tu nous dire comment ?
Si tu ne veux pas que les math soit mal vue en sciences sociale, il faudrait faire un effort pour expliquer ta démarche non ?
Puisque

je conduis une pratique discontinue de la modélisation en science sociale (avec des articles de géographie quantitative orientées transport ville).
Alors, avec les mains dans le "cambouis", si je puis me permettre, je pense que je suis un peu en mesure d'avoir des éléments de réflexions pour parler de cette épistémologie de la théorie en science sociale.

Voila, donc j'attends la réaction d'autres contributeurs

j'ai essayé de trouver les valeurs mais on se retrouve vite en dépassement de capacité, c'est courant en urbanisme
g ; v ; T
2;-1;-5
-91;-26;274
-5177029;-49806;-341062,571428571
7,03537008465662E+17;353138677 3420,57;815375051044,569
-1,620614198512E+43;1,147293048 37816E+30;1,3821142419044E+26
2,05583346287574E+100;-4,47974792879184E+69;7,6113122 9664657E+57
5,60778089631466E+228;3,129518 10316872E+158;-1,63664450382194E+129

r = urbanisme(1, 2, 3, 4, 5, 6)

Function urbanisme(A, B, C, D, E, F)
    maxt = 8
'on part de 3 valeurs connues V=V(0), g=g(0) et T=T(0)
    g = 1
    vv = 1
    TT = 1
    dtt = 1
    t = dtt
    Print #1, "g ; v ; T"
    Do While t < maxt
        dV = -A * g * (1 - B * TT) - C
        dg = D * g * vv * (1 - B * TT) + E * vv
        dt = -F * (D * g * vv * (1 - B * TT) + E * vv) * (1 / g)
        g = g + dg
        vv = vv + dV
        TT = TT + dt
        Print #1, g & ";" & vv & ";" & TT
        
'et on prend x=g,y=V,z=T comme les points d'une courbe 3D
        t = t + dtt
    Loop
End Function

[inviteb6b93040]

Il y a des solutions linéaires quand dV=1,dg=0 et dt=0
dans ces cas
g=1
V=t
T=1
dV = -A * g * (1 - B * T) - C=1
dg = D * g * V * (1 - B * T) + E * V=0
dt = -F * (D * g * V * (1 - B * T) + E * V) * (1 / g)=0
alors la condition est
C=ABgT-Ag-1
E=Dg(BT-1)

[inviteb6b93040]

comme g=T=1
C=AB-A-1
E=D(B-1)
A,B,D et F n'importe qu'elle valeur

[albius21]

Excusez moi pour le temps de réaction. Je vais tenter de reprendre les réponses.

Deja pour expliquer la fonction g(t) est une densité de population en un point, la fonction v(t) est la vitesse moyenne des véhicules pour ce même point et enfin T(t) est l'accessibilité à ce point ou encore le temps nécessaire pour y parvenir.
Les variables A, B, C , E et F n'ont pas de significations particulière. Il s'agit de paramètres à ajuster.

Ensuite, il s'agit bien de toujours (1-B*T(t))

Ce système a pour objectif de dynamiser une densité de population et la projeter dans le futur et cela pour les i communes de ma cartographie de l'Ile de France.

Le système s’emballe assez vite, je le conçois d’où ces valeurs énormes. Mais il peut fonctionner si on fixe des limites :
1) la densité sera toujours positive ainsi que le temps donc dans l'algorithme il faudra remettre la densité à une petite valeur dès qu'elle devient négative et cela pour chaque itération.
2) Il faut prendre des valeurs réelles et cela fonctionne ex densité entre 0 et 5000, T entre 0 et 10, et V entre 0 et 90.
Enfin je propose pour demarrer les valeurs suivantes pour les paramètres :
A = 0.0008, B = 0.06, C = 0.000007, D = 0.00056, E = 0.0008, F = 0.06

Voila mais je cherche vraiment une analyse (par ex methode de Jordan avec des matrices jacobiennes) et non une étude numérique (ca je sais le faire aussi)

[albius21]

J'espère vraiment trouver ici une aide car le filon que j'avais vient de tomber à l'eau. Il faut dire aussi que je ne suis pas aidé dans mon milieu professionnel puisque cette recherche lui est totalement étranger. J'ai par ailleurs des relations avec l'université mais le domaine dans lequel je me trouve (la géographie) ne s’intéresse guère à ce type d'étude. Il y a deja une publication pour un système plus simple dans le même style de perspective

Ce système est en quelque sorte une évolution du précédent. Il peut également être complété par une autre ouverture portant sur la modification d'une autre hypothèse de base.
Je pense qu'en adjoignant le système de base :

dV/dt = -A*g - B
dg/dt = C*D*V*g + E*V

aux deux autres évolutions, on trouve un système bien plus performant, plus représentatif de la dynamique de la ville mais aussi, très difficile à comprendre pour un non mathématicien comme moi.
J'ai donc besoin de votre concours pour l'analyse de ces logiques plus complexes. Il me faut trouver des scenarii et degager des typologies d'évolution pour les villes.

[invite93e0873f]

Bonjour,

Je pense qu'en adjoignant le système de base :

dV/dt = -A*g - B
dg/dt = C*D*V*g + E*V

aux deux autres évolutions, [...]

Quelles sont ces « deux autres évolutions » ? Les deux premières équations de votre premier message ? Ce serait étrange...

Notez qu'il y a de quoi faire en étudiant uniquement le système de deux équations que vous avez écrit dans votre dernier message.

[albius21]

En réalité le système que je souhaite étudier et qui pour l'instant reste totalement opaque pour moi est le suivant :

dV/dt = -A*[B*(1-C*T(t))*V(t)*g(t)+D*V(t)]*(1/(1-E*V(t))) - F*(1-C*(T(t)) - G
dg/dt = [B*(1-C*T(t))*V(t)*g(t)+D*V(t)]*(1/(1-E*V(t)))
dT/dt = -H*(1/g(t))*[B*(1-C*T(t))*V(t)*g(t)+D*V(t)]*(1/(1-E*V(t)))

Vous dites que le système le plus réduit est déjà intéressant à étudier mais il ne s'agit pas ici d'un exercice, c'est un résultat de calcul. On cherche à comprendre ce système et pas un autre.

Comme toujours en Sciences sociales, les logiques sont complexes.

[invite93e0873f]

En réalité le système que je souhaite étudier et qui pour l'instant reste totalement opaque pour moi est le suivant :

dV/dt = -A*[B*(1-C*T(t))*V(t)*g(t)+D*V(t)]*(1/(1-E*V(t))) - F*(1-C*(T(t)) - G
dg/dt = [B*(1-C*T(t))*V(t)*g(t)+D*V(t)]*(1/(1-E*V(t)))
dT/dt = -H*(1/g(t))*[B*(1-C*T(t))*V(t)*g(t)+D*V(t)]*(1/(1-E*V(t)))

Vous dites que le système le plus réduit est déjà intéressant à étudier mais il ne s'agit pas ici d'un exercice, c'est un résultat de calcul. On cherche à comprendre ce système et pas un autre.

Comme toujours en Sciences sociales, les logiques sont complexes.

Je comprends que vous cherchiez à résoudre un système précis et pas un autre ; seulement, vous en avez écrit un autre et je n'ai fait que souligner qu'il pouvait être résolu en bonne partie sans technique élaborée. Sur ce forum comme dans la vie, on travaille avec ce qu'on a.

Définissons les fonctions et . Nous voyons que le système se récrit

.

En multipliant la seconde équation par , nous obtenons , d'où nous tirons où M est une constante déterminée par les conditions initiales. Si H est non nul (autrement, on retombe sur votre système approché), cela s'exprime aussi sous la forme .

Ainsi, la seconde équation détient essentiellement la même information que la troisième. Cette deuxième s'écrit .

Si nous posons , alors nous pouvons montrer (en n'utilisant que la définition de Z) que

. Or, ceci doit aussi valoir .

En menant les calculs à bout, nous avons réduit le système initial à trois équations du premier ordre à une seule équation du deuxième ordre sur Y. Je ne suis pas un analyste numérique, mais paraît-il que pour un calcul informatique, le système initial* est plus simple à résoudre que l'équation du second degré seule. Du point de vue théorique cependant, il y a peut-être une meilleure chance de résolution du côté de cette dernière équation. (J'en doute un peu, mais bon, je ne suis pas expert non plus !)

* Il est probablement mieux tout de même de résoudre le système à deux équations d'ordre un sur Y et sur Z que nous avons implicitement trouvé ici.

[albius21]

Bonjour à tous

Je reprends cette discussion ou je l'avais laissée.
Je pensais me faire aider pour ce modèle mais on m'a laissé tombé en cours

Pour expliquer un peu la genèse de ce modèle puisqu'on m'en demandait un peu plus.
Au départ, il s'agit d'une suite d'analogie avec la physique.
Modèle gravitaire, modèle de trafic, loi du mouvement, Newton.


Dans le modèle gravitaire (gravitation universelle revue à la sauce des économistes)
on a Flux émis par A = G.D.exp(-a.X)
dans le cas le plus simple, X est la distance euclidienne entre le centre de la ville et la périphérie.

Il existe une théorie en Science Humaine et surtout en ethnologie ou psycho-geographie qui argumente que l'image que nous renvoie notre cerveau du monde est égocentrée. Le monde tourne autour de moi et la "taille des objets" décroit avec la distance à mon corps. Soit pour formaliser
L(x) = Lr^x L(x) taille d'espace r facteur de reduction, x distance au corps et L taille initiale de l'espace au niveau du moi ou du point de vue Ici.
An partant de la on peut calculer la distance dite proxemique comme
X(x) = L + Lr + Lr² + Lr^3 + ... + Lr^x
soit X(x) = L(1-r^x)/(1-r)
ou encore dX(x)/dx = A.[1- B.X(x)] A et B paramètres
Du coup, dans le modèle gravitaire si on substitue la distance euclidienne par ce modèle.
In fine, on obtient un système à 3 équations (mais je saute des étapes pour ne pas être trop long)

dV(t)/dt = -A.g(t).(1- B.X(t)) - C
dg(t)/dt = D.g(t).V(t).(1- B.X(t)) + E.D.V(t)
dX(t)/dt = -F.[D.g(t).V(t).(1- B.X(t)) + E.D.V(t)].(1/g(t))

Ma question est donc la suivante. Si ce modèle est fixé, quelles sont toutes les variations qu'il peut admettre.
stationnarité, stabilité... attracteurs...
Personnellement, je ne suis pas assez calé en math pour pouvoir répondre

Je sais simplement que si F = 0 et B = 0, le système se résume à mon modèle de base :
dV/dt = -A.g(t) - B
dg/dt = C.D.g(t).V(t) + C.E.V(t) et ce modèle la je le connais très bien.

pour ceux qui vaudrait en savoir plus sur le modèle et sa construction et ainsi mieux comprendre la démarche, je vous renvoie à cette publication.
http://cybergeo.revues.org/25157
et enfin pour comprendre la question de l'espace égocentré et la proxemique voila le lien vers une autre publi pour un colloque.

http://www.fichier-pdf.fr/2016/04/04/abcd/