Conjecture de Hodge.

[invite52487760]

Bonjour à tous,

J'ai une question à propos de la conjecture de Hodge :

Comment le fait de passer de l'application : à l'application change complètement le résultat ?
Au début, on nous demandait d'établir la surjectivité de l'application classe fondamental ( C'est l'objet de la conjecture de Hodge intégral ), et lorsque ce cas là a échoué, on a changé l'énoncé, et ça a devenu la conjecture de Hodge rationnelle ( en établissant la surjectivité de l'application classe fondamentale : . Pourquoi ces deux applications sont différentes et donnent deux énoncés différentes ?

Pourquoi le fait de passer de à change radicalement le résultat ?
Merci d'avance.
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[Universus]

Bonjour,

Je ne connais pas les résultats précis obtenus autour de la conjecture de Hodge, mais je pense que cette question a son penchant dans toutes les questions de représentabilité des classes d'homologie, par exemple dans le cas des variétés lisses (voir le spoiler ci-dessous pour des détails à ce sujet).

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Si et sont deux variétés différentiables, alors toute application lisse détermine une classe d'homologie singulière (possiblement triviale). On dit alors que la classe est représentée par une variété lisse (par exemple ici, par N, mais pas nécessairement seulement par cette variété). Une question analogue à la conjecture de Hodge est alors de savoir quelles classes d'homologie singulière peuvent être représentées par une variété lisse (via une application lisse). En général, elles ne le sont pas toutes (je n'ai pas d'exemple précis à donner pour le montrer).

Cela est quelque peu surprenant considérant le théorème de de Rham stipulant que (qui est lui-même isomorphe à ). En effet, cet isomorphisme stipule que l'intégration d'une k-forme différentielle sur les k-sous-variétés fermées de M détermine une unique k-coclasse singulière de M. En d'autres termes, alors que le scalaire est bien défini si est une k-classe singulière représentable par une variété lisse, l'isomorphisme de de Rham stipule qu'il y a moyen de prolonger de façon unique l'intégration à toutes les k-classes singulières et que, réciproquement, toute k-coclasse est un tel prolongement.

Ce n'est pas paradoxal, justement parce que l'ensemble des coefficients utilisé dans le théorème de de Rham est un corps, contrairement à . En effet, si est représentable par une variété lisse, de sorte que le scalaire a un sens, alors pour tout réel , nous pouvons définir comme étant . En particulier, ceci est vrai même si avec et arbitraire, pas nécessairement représentable par une variété lisse.

L'isomorphisme de de Rham suggère ainsi le résultat suivant : quelle que soit la classe singulière entière , il existe un entier tel que est une classe singulière entière représentable par une variété lisse. C'est effectivement un théorème de Thom. Ceci implique en particulier que toute classe d'homologie singulière (à coefficients rationnels) est une combinaison linéaire de classes « lisses ».

Plus simplement que ce spoiler, il y a la question de la torsion : prendre les coefficients rationnels élimine la torsion. En ce sens, s'il a été montré qu'il existe certaines classes avec torsion et que celles-ci ne sont pas représentables par des variétés complexes, alors la conjecture intégrale ne peut pas tenir.

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En fait, en lisant l'article wikipedia anglophone sur le sujet, on voit que ces deux points sont effectivement problématiques

The integral Hodge conjecture
Hodge's original conjecture was:

Integral Hodge conjecture. Let X be a projective complex manifold. Then every cohomology class in H2k(X, Z) ∩ Hk, k(X) is the cohomology class of an algebraic cycle with integral coefficients on X.

This is now known to be false. The first counterexample was constructed by Atiyah & Hirzebruch (1961). Using K-theory, they constructed an example of a torsion Hodge class, that is, a Hodge class α such that for some positive integer n, n α = 0. Such a cohomology class cannot be the class of a cycle. Totaro (1997) reinterpreted their result in the framework of cobordism and found many examples of torsion classes.

The simplest adjustment of the integral Hodge conjecture is:

Integral Hodge conjecture modulo torsion. Let X be a projective complex manifold. Then every cohomology class in H2k(X, Z) ∩ Hk,k(X) is the sum of a torsion class and the cohomology class of an algebraic cycle with integral coefficients on X.

Equivalently, after dividing H2k(X, Z) ∩ Hk,k(X) by torsion classes, every class is the image of the cohomology class of an integral algebraic cycle. This is also false. Kollár (1992) found an example of a Hodge class α which is not algebraic, but which has an integral multiple which is algebraic.

[invite52487760]

Merci beaucoup pour cette réponse Universus.
Peux tu stp m'expliquer le contre exemple qui a contredit la conjecture de Hodge integrale ? Quel est en détail cet contre exemple en lien avec le problème de torsion ? Si j'ai bien compris, on a trouvé un exemple de où , par contre, celui de si, j'ai bien compris ton dernier message, non ?
Merci d'avance.

[Universus]

Bonjour,

Ce que j'ai écrit dans le spoiler ne concernait pas directement la conjecture de Hodge, mais plutôt une question fort analogue en topologie différentielle (et certainement résolue depuis la thèse de Thom). Ceci dit, je n'ai assurément pas prétendu ce que tu as écrit : au contraire, ces deux intégrales doivent être identiques.

Comme je l'ai indiqué dès le commencement de mon message, je ne connais pas les résultats précis obtenus autour de la conjecture de Hodge. Par contre, en regardant de plus près l'extrait de l'article wikipedia anglophone que j'ai donné, on y voit les références où les conjectures de Hodge intégrales ont été infirmées et essentiellement comment.

Pour le problème de la torsion, il y est dit qu'une (k,k)-coclasse qui est représentable par un (co)cycle algébrique doit forcément être sans torsion : n'a pour solution que n=0 (si la coclasse est non nulle). Je présume que c'est pour la raison suivante : la variété complexe X « ambiante » considérée étant projective, elle est en particulier Kähler, donc il existe une forme symplectique (à savoir la forme kählérienne) . Si est une application holomorphe (non triviale en homologie) depuis une 2k-variété complexe non singulière, alors est « strictement positive », c'est-à-dire que . Puisque pour tout entier n, nous voyons que la classe est sans torsion. Du coup, un cycle algébrique quelconque doit être sans torsion aussi.

Or, Atiyah et Hirzebruch aurait trouvé une coclasse de Hodge (sur une certaine variété projective X) qui a de la torsion, de sorte que cette coclasse ne peut pas être représentée par un (co)cycle algébrique. Cela contredit la conjecture intégrale. Afin de se débarrasser de la torsion, on peut tout simplement ne considérer que les coclasses sans torsion (ce qui donne lieu à la conjecture intégrale modulo la torsion) ou utiliser pour ensemble de coefficients un corps de caractéristique nulle telle que les rationnels. La seconde opération perd néanmoins plus d'informations que la première ; en d'autres termes, la conjecture intégrale modulo la torsion est plus forte que la conjecture rationnelle. Or, Kollár aurait trouvé un contre-exemple à la conjecture intégrale modulo la torsion : il existe une coclasse de Hodge entière sans torsion n'admettant pas de (co)cycle algébrique intégral comme représentant, mais son contre-exemple était tel qu'un multiple entier de cette coclasse en admet un. Cela laisse encore le champ libre pour la conjecture rationnelle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite52487760]

Merci pour toutes ces précisions Universus.

[Universus]

Je devrais préciser que ce n'est pas seulement parce que la forme est symplectique que l'intégrale sur une sous-variété complexe est positive ; le fait qu'il s'agisse d'une forme kälhérienne importe. Plus précisément, ce qui importe est d'avoir une forme symplectique compatible avec la structure complexe ambiante, c'est-à-dire vérifiant et un produit scalaire défini positif. La structure complexe ambiante induit une structure complexe sur les sous-variétés complexes (d'où l'importance des applications holomorphes) et la forme kählérienne se restreint aussi à une forme kählérienne pour la structure complexe restreinte. Ce faisant, l'orientation de la sous-variété déterminée par sa structure complexe est la même que l'orientation déterminée par sa forme kählérienne et c'est cela qui force les intégrales que j'ai considérées à être strictement positives (si n'est pas triviale).