Interpollation Polynomiale

[Mikiisa]

Bonjour, j'ai beaucoup de mal avec ce sujet : https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/...22Juin2011.pdf

J'en suis à la question 4 et je n'arrive pas du tout à conclure. J'ai essayé de montrer que Somme(Fi(x)) > 1 mais cela n'a meme pas l'air d'etre vrai. Aussi je ne vois vraiment comment obtenir cette majoration

Aidez vous s'il vous plait je suis desespere

cordialement
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[Mikiisa]

en fait je pense qu'on peut montrer que Somme(Fi(x)) = 1 mais je ne vois absolument pas comment

[invite93e0873f]

Bonjour,

Si je comprends bien l'exercice, étant donné une fonction continue et un entier , on cherche à trouver un polynôme (où ) qui, entre autres choses, est égal à sur l'ensemble des zéros de .

J'ai une question pour vous : si vous choisissez une fonction continue telle que pour tout , quel est le polynôme ? Il y a deux manières de répondre à cette question, l'une explicite, l'autre via l'exercice 2(c) ; les deux sont à explorer.

[Mikiisa]

Enfait pour la question 1), j'ai tricher un peu en faisant appel a des résultats d'algèbre linéaire.
J'ai considérer une application linéaire de RN[X] -> R^N+1 (associant a P, le uple (P(x1),...,P(xn),P'(x1),...,P' (xn)) )

Pour la question 2c) j'avou avoir utiliser la force brut et le calcul Bourrin

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mikiisa]

Le polynome sera Somme(Fi(x))

[Mikiisa]

Donc si je prend f constamment égale a 1, ce polynome est nécessairement égal a f ?

[Mikiisa]

Ah mais oui !
Il y a unicité ! Super merci beaucoup ! Pour la fin de exercice vous avez une indication ?

Encore merci !

[invite93e0873f]

Enfait pour la question 1), j'ai tricher un peu en faisant appel a des résultats d'algèbre linéaire.
J'ai considérer une application linéaire de RN[X] -> R^N+1 (associant a P, le uple (P(x1),...,P(xn),P'(x1),...,P' (xn)) )

Pour la question 2c) j'avou avoir utiliser la force brut et le calcul Bourrin

Bah, je ne sais pas si c'est de la triche ; si cette démarche vous apparaît plus claire et qu'elle fonctionne, où est le problème ?

Personnellement, je n'ai cherché à répondre à pratiquement aucune des questions de votre pdf, j'ai juste tenté de voir comment pouvait découler la question 4.

Le polynome sera Somme(Fi(x))

Ça, c'est la réponse passant par l'exercice 2(c). Maintenant, pouvez-vous trouver explicitement le polynôme ? Après tout, d'après l'exercice 2(a), il n'existe qu'un seul polynôme vérifiant les propriétés demandées de et, heureusement, il y a un polynôme concret qui peut nous venir à l'esprit qui a ces propriétés...

Édition : je vois que vos derniers messages solutionnent le problème

[Mikiisa]

Oui c'est d'ailleurs une très jolie façon d'établir une égalité pas du tout évidente a première vu oO

Donc en fait comme vous le disiez ça convient avec n'importe qu'elle fonction qui vaut 1 sur les racine de Tn. Puisque le polynome constant égal a 1 vérifie les condition, c'est lui !

Merci beaucoup de m'avoir éclairer, je me sens vraiment bête pour le coup lol

[invite93e0873f]

Pour la fin de exercice vous avez une indication ?

La question 5 me semble relativement aisée : c'est de l'analyse plutôt standard.

La question 6 cependant me semble mal posée. Je pense qu'il manque des conditions sur la suite ; il faudrait qu'au fur et à mesure que n grandit, l'ensemble « couvre de plus en plus » l'intervalle I. Dans l'état, la question permet de ne considérer une suite de n-plets qui ne sonde qu'une petite partie J de l'intervalle I, de sorte qu'il est généralement impossible que les polynômes (qui, essentiellement d'après 2(a), sont uniquement déterminés par les données fournies dans la petite partie J) puissent bien approximer la fonction en-dehors de J (puisque des fonctions continues peuvent différer de façon drastique sur si cet ensemble contient un intervalle).

Je vous suggère donc la modification suivante de la question 6 (et je vous laisse le soin de trouver un cas compatible avec l'énoncé initial, mais pas avec le mien, qui n'aboutit pas à la conclusion recherchée) :

« Plus généralement, pour chaque entier , considérons un n-plet de réels vérifiant . Posons et . Supposons qu'il existe une suite de réels positifs convergeant vers 0 telle que, pour chaque n, . Montrer que toute fonction continue peut être approchée uniformément sur I par une suite de polynômes satisfaisant pour tout n . »

Pour la démonstration de ceci, je pense que l'idée principale à suivre est assez claire, mais qu'il y a des difficultés techniques à régler (et que je n'ai pas encore réglées )

[Mikiisa]

Si vous avez le courage de m'aider pour la fin du problème, la question 5 me résiste decidemment

cordialement

[Mikiisa]

Ah je n'avais pas vu votre message, merci !

La question 5 me semble relativement aisée : c'est de l'analyse plutôt standard.

Vous me surestimer lol, aucun probleme pour les question a et c, c'est surtout la question b) qui m'embete
Pour la question 6 je pense au theoreme de Weirstrass

[Mikiisa]

C'est bon pour la question 5, j'ai réussi.

Je m'attaque a la 6 maintenant.

[invite93e0873f]

Ah je n'avais pas vu votre message, merci !

La question 5 me semble relativement aisée : c'est de l'analyse plutôt standard.

Vous me surestimer lol, aucun probleme pour les question a et c, c'est surtout la question b) qui m'embete
[...]
C'est bon pour la question 5, j'ai réussi.

La partie b) est effectivement la plus difficile de cette question, mais aussi la plus intéressante. Elle valait la peine que vous y songiez par vous-même !

Pour la question 6 je pense au theoreme de Weirstrass

Évidemment, puisqu'il le théorème de Weierstrass découle de cette question ! Sauf qu'ici, on demande quelque chose de plus raffiné que le théorème de Weierstrass : on impose des conditions sur les polynômes approchant . C'est beaucoup plus dans l'esprit du reste de l'exercice.

Si le n-plet consistait (pour chaque n) en les racines du polynômes , les exercices précédents impliqueraient le résultat. Or, à la question 6, ceci n'est pas supposé. Pouvez-vous trouver une manière (appropriée, c'est important) de vous ramener à ce cas ?

[Mikiisa]

J'ai laisser de coté la question 6 pour le moment car je doit egalement pratiquer un peu l'algorithmique, mais j'y reviendrais promis !

Merci beaucoup pour votre aide !