Espaces vectoriels, bases et endomorphismes

[Binomes]

Bonjour !

J'ai du mal à réaliser cet exercice:

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Dans le R-espace vectoriel E=F(R,R) des fonctions définies sur R et à valeurs réelles, on considère le sous-espace vectoriel F engendré par les fonctions: f₁(x)=e^-x , f₂(x)=(x-1)e^-x , f₃(x)=(x²+1)e^-x

1. Montrer que la famille B=(f₁,f₂,f₃) est une base de F.

2. A toute fonction f de F, on associe la fonction g(f) définie par g(f)=f'. Montrer que g est un endormorphisme de F puis écrire la matrice A de f relativement à la base B.

3. Calculer Aⁿ pour tout n appartenant à N.

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Je bloque au niveau de la seconde question, où je vois mal comment montrer que tout g(f) est à valeurs dans R pour toute fonction de R. Ca me semble logique mais je ne vois pas comment le démontrer.

Si quelqu'un peut m'aider, je le remercie d'avance
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[minushabens]

Il n'y a pas besoin de montrer que g(f) est dans F pour tout f de F. Il suffit de le montrer pour les éléments de la base donnée. Sachant que tu as démontré que g était linéaire.

[Binomes]

Merci !

Par ailleurs, lorsque je dois définir B comme une famille libre avec (λ₁, λ₂, λ₃) appartenant à R³ tels que:
λ₁f₁+ λ₂f₂+ λ₃f₃=0

Si je trouve sans difficultés λ₁= λ₃=0,
Pour λ₂f₂= λ₂(1-x)e^-x= 0 soit λ₂=0 soit x=1

Comment lever cette ambiguïté ?

[PlaneteF]

Bonsoir,

Si je trouve sans difficultés λ₁= λ₃=0,
Pour λ₂f₂= λ₂(1-x)e^-x= 0 soit λ₂=0 soit x=1

Je serais curieux de voir comment tu as trouvé que , ... parce que si tu as effectivement trouvé cela sans difficultés comme tu le dis, je ne vois pas pourquoi tu n'arrives pas à la conclusion évidente que ?!

J'ai de sérieux doute sur la justesse de ton raisonnement


Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Binomes]

A vrai dire, j'en doute moi-même... -.-
Je vais donc récapituler le début de mon raisonnement:

Je pose :

λ₁f₁+ λ₂f₂+ λ₃f₃=0

<=> λ₁e^-x+ λ₂(x-1)e_-x+ λ3(x₂+1)e^-x=0

Je sais que e^-x > 0 et x²>0 ou =0 donc x²+1>1 ou =1

Là où ça bloque c'est pour λ₂(x-1)e_-x


Pour le petit 2) j'obtient la matrice:



A l'aide de :
g(f1)=-e^-x
g(f2)=(2-x)e^-x
g(f3)=(2x-x²-1)e^-x

Est-ce correct ?

[PlaneteF]

Je sais que e^-x > 0 et x²>0 ou =0 donc x²+1>1 ou =1

Et alors ?? ... Ca nous fait une belle jambe

Cdt

[Binomes]

En reprenant le problème de manière classique je tombe sur :

[PlaneteF]

En reprenant le problème de manière classique je tombe sur :

Ca OK ... Et à partir de là comment arrives-tu à ?

[Binomes]

Justement, je ne vois pas comment aller plus loin >.<

[PlaneteF]

Et bien cette égalité est vraie

[Médiat]

Bonjour,

Pour aller dans le sens de PlaneteF : ceci

λ₁f₁+ λ₂f₂+ λ₃f₃=0
<=> λ₁e^-x+ λ₂(x-1)e_-x+ λ3(x₂+1)e^-x=0

est faux (ou, au mieux tellement mal écrit que cela vous entraîne à ne pas comprendre ce qu'il y a à faire) !

[PlaneteF]

Et bien cette égalité est vraie

Hier soir quand j'ai écrit sur ce fil, le site plantait toutes les 30 secondes, et je n'ai pas pu rajouter ceci :

Pour une fonction réelle,

Cela peut paraître basique et évident d'écrire cela mais c'est bien de ça qu'il s'agit ici.


Ainsi écrire que :


Revient à écrire :


Ou encore :


Et ici le n'est pas là pour faire joli, il est indispensable !


Rappel : Attention, écrire et écrire , ce n'est pas du tout la même chose (c'est notamment l'histoire des variables libres et des variables liées).


Cdt

[Binomes]

Si j'ai bien compris, pour cette partie du problème, je ne m'intéresse pas aux solutions impliquant des x car je resouds l'équation pour tout x de R. Donc la seule option envisageable c'est que les scalaires soient égales à 0.

[PlaneteF]

Si j'ai bien compris, pour cette partie du problème, je ne m'intéresse pas aux solutions impliquant des x car je resouds l'équation pour tout x de R. Donc la seule option envisageable c'est que les scalaires soient égales à 0.

Pas du tout, ce raisonnement est faux.


En fait, t'autorise à écrire par exemple :


ou encore


Ou encore d'autres valeurs que tu vas estimer plus judicieuses ou plus "confortables" pour résoudre ta question !


Cdt

[Médiat]

Je vais être un peu plus précis :


Attention : ce n'est clairement pas une équivalence.

Pourquoi que 3 exemples et pourquoi ces 3 là ? Parce que . S'il vous en faut d'autres ajoutez-les.

Si, ensuite, vous montrez que (où est la formule à démontrer) alors il ne vous restera plus qu'à invoquer la transitivité de l'implication.

[PlaneteF]

(...)

Pourquoi que 3 exemples et pourquoi ces 3 là ? Parce que .

Bonjour Médiat,

C'est marrant j'avais choisi de mon côté ces 3 mêmes valeurs , ... en même temps il faudrait tordu pour choisir des trucs du genre

Cdt

[Binomes]

Si j'ai bien compris vos indications:

Pour prouver que



Déjà, je peux simplifier



Par



Je prends des valeurs de x tels que x=0:



Pour x=1:



Pour x=-1:



J'obtient un système dont la seule solution est

Est-ce correct ?

[PlaneteF]

Oui, ... avec 2 remarques :

C'est le sens qui permet de démontrer que la famille est libre. L'autre sens, évident, n'y participe pas.

J'obtient un système dont la seule solution est

La façon dont tu mets dans cette phrase la rend pas claire. Cela laisse à penser que les dépenderaient de , ... ce qui n'est pas le cas.


Cdt

[Binomes]

Désolée, si je devais justifier ce raisonnement je dirais que c'est à cause de l'égalité:



Merci pour votre patience et vos explications concernant cette question, PlaneteF et Mediat

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Pour le petit 2 (2. A toute fonction f de F, on associe la fonction g(f) définie par g(f)=f'. Montrer que g est un endormorphisme de F puis écrire la matrice A de f relativement à la base B.) j'obtient la matrice:



A l'aide de :



Est-ce correct ?

[Médiat]

Il faut exprimer g(f1), g(f2), g(f3) en fonction de f1, f2 et f3 (pas de x).

[Binomes]

Merci Médiat !

Après avoir pris en considération tes conseils je trouve:



A l'aide de :



Est-ce bon ?

[Médiat]

Non, puisque cela dépend de x et non exclusivement de f1, f2 et f3.

[Binomes]

Autant pour moi >.<

Je trouve donc :



A l'aide de :